CHAPITRE XXVI

le système (5), (6) renfermerait des solutions étrangères au système (3), (4)> auquel la proposée a été ramenée. Or on reconnaît immédiatement que l'équation (6) peut être

satisfaite sans que (3) le soit, parce que — a, comme toute

quantité réelle ou imaginaire, trois racines cubiques différentes, qui sont, d'après ce que nous venons de voir, le produit de ^ par les trois racines cubiques de -!-i, qui sont i,

Si donc nous désignons ces deux dernières par a, S, on obtiendrait la même équation (6), si au lieu de (3) on avait l'une quelconque des deux suivantes :

yzz= — -V., yz -^sz — -^ 5.

Le système (o), (6) renferme donc, outre les solutions de la question proposée, celles de deux autres systèmes consistant en chacune de ces deux dernières équations, jointe

Résolvons donc d'abord le système (5), (6); nous verrons ensuite comment nous débarrasser des solutions étrangères.

Les deux inconnues j^, z^, dont nous connaissons la somme et le produit, seront les deux racines de l'équation suivante :

U^ -\- fin — :^— =::: G,

dont les valeurs sont

Il ne reste donc plus qu'à extraire les racines cubiques de ces deux expressions, réelles ou imaginaires, et à les ajouter pour former la valeur de x. Mais pour chacune d'elles

il y a trois racines cubiques, et leurs combinaisons respectives donneraient neuf valeurs pour y -i- z. Ces neuf valeurs sont les solutions des trois systèmes renfermés dans les équations (5), (6), et il nous sera facile de séparer celles qui conviennent à la question proposée.

Pour cela, nous considérerons successivement les trois

hypothèses de y- -h — positif, nul ou négatif.

1° Supposons

désignons

— -4- \/v--l- — par A, et — ^ — i/^ -f- ^ par B.

Leurs trois racines cubiques seront respectivement, en désignant par a, 6 les deux racines cubiques imaginaires de -f- I , et par \/A et v^B les racines arithmétiques de A et B,

v/b, «v^b, êv/B.

Les trois premières représenteront, par exemple, les valeurs dey; les trois autres celles de z. Mais le produit j^z doit être réel d'après l'équation (3), et comme a, S, a^, ê^ sont imaginaires, les seules combinaisons satisfaisant à (3) et donnant les valeurs cherchées de x qui satisfont à (i) seront

1 x^. y/Â-f- v^B, (8) ' I x=uVÂ-\-e\/B,

et l'on voit que la première seule est réelle.