CHAPITRE II
de la généralité du théorème. Mais il ne faut pas se dissimuler que dans des questions plus compliquées ce procédé présente des inconvénients que nous signalerons plus tard et qui ont conduit à en adopter un plus parfait.
30. Autre théorème. — Si l'on multiplie un nombre par le produit de deux autres, on aura le même résultat que si l'on multipliait ce nombre par le premier facteur de ce produit, et le résultat par le second.
Soit, en effet, un nombre quelconque à multiplier par le produit de 27 par 19, ou par 5i3. Représentons-nous d'abord ce nombre écrit 27 fois, puis ce tableau répété 19 fois : il est évident que le nombre de fois que le nombre donné sera écrit après cette nouvelle opération sera 19 fois ce qu'il était avant, ou 19 fois 27. Donc, en multipliant le nombre d'abord par 27, puis le produit par 19, on a pour résultat ce même nombre répété un nombre de fois égal au produit de 27 par 19. Et, comme les raisonnements ne dépendent pas des valeurs des nombres 27 et 19, qui ne sont là que pour éviter des circonlocutions, on n'éprouve aucun doute sur la généralité du théorème ,
31. Remarque. — Ces théorèmes, et d'autres que nous omettons, pourraient facilement être étendus à un nombre quelconque de facteurs ; mais nous nous en dispenserons, parce que notre objet n'est pas de faire un Cours complet, mais d'indiquer dans quel esprit il doit être fait. Nous avons voulu, par ces exemples très-simples, montrer comment on peut, dans l'Arithmétique élémentaire, obtenir la démonstration de propositions générales. Et cela est absolument nécessaire, si l'on ne veut pas que cet enseignement soit borné à la connaissance de procédés mécaniques, sans raisonnements qui les justifient.
La première méthode que nous avons indiquée à cet effei consiste à désigner les nombres uniquement par le rôle
D. — Se. de rais.. 2^ Part. "^
qu'ils jouent dans la question, et raisonner jusqu'à ce que l'on arrive à la conclusion qu'on a en vue, et qui se trouve alors établie généralement.
La seconde consiste à prendre des nombres particuliers arbitraires pour représenter ceux que l'on donne, cl à raisonner indépendamment de ces valeurs particulières. La conclusion en sera elle-même indépendante.
32. Procédé pour effectuer la multiplication. — Pour obtenir une règle générale il suffirait, d'après ce que nous avons dit, de considérer deux nombres déterminés et de faire les raisonnements indépendamment de leurs valeurs particulières.
Nous n'entrerons pas dans le détail de cette opération. Nous nous contenterons de dire qu'on la décompose en autant d'autres qu'il y a de chiffres au multiplicateur, et que chacune de celles-ci se ramène à la multiplication du multiplicande par un nombre d'un seul chiffre. Car, par exemple, le chiffre des centaines représente un nombre égal à celui que marque le chiffre multiplié par cent. Donc, pour répéter le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans la partie du multiplicateur marquée par le chiffre des centaines, il suffit de le multiplier par le nombre d'unités que marque ce chiffre, puis de multiplier le résultat par cent, ce qui se fait en écrivant deux zéros à sa droite.
La multiplication par un nombre quelconque se ramène donc à celle par un nombre d'un seul chiffre, laquelle se fait immédiatement en multipliant chacune des parties du multiplicande.
Nous n'en dirons pas davantage sur cette opération ; de plus amples détails appartiennent à un Cours spécial d'Arithmétique.
33. Division. — Cette opération a pour but de partager un nombre en un nombre désigné de parties égales, et de
