CHAPITRE XXVII

Or, d'après une formule connue, on a

et l'on voit sans peine que l'exposant de x diminue d'un terme à l'autre, depuis n jusqu'à zéro, tandis que celui de h augmente depuis zéro jusqu'à n\ que le coefficient de chaque terme se forme du précédent en le multipliant par l'exposant de x dans ce terme, et le divisant par le nombre des termes précédents.

Il est facile de voir d'après cela que la substitution de X -\-1i à X dans le polynôme (i) donnera pour terme indépendant ce polynôme lui-même, et pour coefficients des puissances ascendantes de h, les polynômes suivants :

A/wx"^-i-|-B(m--i)^'"-2-+-. . .-^2Sx-4-T,

Km(m~i]x"'-^-\-^[in — i] [m — i) x""-^ -{- . . .-f-2S,

Am{m — i)...{m—p -; i ) x"^-p -hB(m — i) (m — a). . .(m —p)x"^P-K . ., »

divisés, le premier par i, le second par 1.2, le /;'"^'°'^ par 1 .2.3. . ./? et le dernier par 1,1, . .m.

Le premier de ces polynômes se nomme le premier polynôme dérivé du premier (i) ; le second est le premier polynôme dérivé de ce polynôme dérivé, en suivant la même loi que pour obtenir celui-ci d'après le proposé ; on le nomme le second polynôme dérivé du proposé, et ainsi de suite jusqu'au dernier.

D'après cela, si l'on représente le polynôme (i) par F (a:), et ses polynômes dérivés successifs, qu'on nomme aussi les

fonctions dérivées, ou simplement les dérivées de la fonction F(^), par FVx), F^'{x), . . ., F^p\jc), on aura la formule suivante :

212. La première dérivée F' [x) du polynôme F[x), qui est le coefficient de la première puissance de h dans le développement de F(x-I-A), peut être envisagée sous un autre point de vue qui nous conduira plus tard à une définition applicable à toutes les fonctions, même à celles pour lesquelles on ne saurait effectuer le développement de F(a:-r-/«), et auxquelles, par conséquent, la définition précédente des dérivées ne pourrait être appliquée.

L'équation ( 2 ) conduit facilement à la suivante :

h ^ ' i.tz ^ '

Or il est évident que, si l'on fait tendre li vers la limite zéro, le second membre tend vers la limite F\x) ; le premier tend donc aussi vers la limite F\x\ et l'on peut dire par conséquent que :

La première dérwée d'un polynôme est la limite du rapport de V accroissement de ce polynôme à V accroissement correspondant de la Dariahle x, lorsque ce dernier tend vers zéro.

Mais pour le moment nous restons dans la première définition, parce que nous ne nous proposons ici de considérer que des fonctions entières et rationnelles de x, d'où elle tire son origine.