Enfin, soit le produit
que nous désignerons par X.
Considérons les facteurs P, Q, R, . . . comme étant respectivement
[x-a)"-, [x-b]P, [x-cY, ...,
la dérivée du produit X, ou X', sera
n[x — aY-'^ [x~ b)P{x — cyf. . .
-^,p[x — by-^ [x— a)"- [x — cY . .
~~q[.x — cY~^ (•^ — «)" (a: — bY
La composition de cette dérivée donne lieu à une remarque importante. Un facteur quelconque, du premier degré, par exemple [x — a), qui est facteur dans X à la puissance tz, est facteur dans X' à la puissance n — i seulement. En effet, si l'on y met [x — ay^~* en facteur, l'autre facteur se composera de deux parties, l'une qui aura en facteur X — a au premier degré, et l'autre qui sera
n(x-- bY [x — cY- . •;
de sorte que ce second facteur ne s'annulerait pas par l'hypothèse a: = a, et, par conséquent, ne serait pas divisible par [x — a).
La même chose pouvant se dire de tous les autres facteurs du premier degré de X, on en conclut ce théorème :
La dérwée de X peut se mettre sous la forme
(x~ a)"-^ [x— by-^ (a:^)7-i. ^ q
Q étant un poljnôme qui nest divisible par aucun des facteurs du premier degré, x — a, x — ^, ....
COMMENT LES DERIVEES FONT RECONNAITRE SI LES FONCTIONS SONT CROISSANTES OLl DÉCROISSANTES.
219. Il est souvent utile de savoir reconnaître dans quel sens varie une fonction lorsque l'on augmente la variable dont elle dépend, à partir d'une valeur donnée. Or c'est à quoi l'on parvient facilement au moyen des dérivées de cette fonction, que nous supposons toujours réductible à un polynôme , quand on effectue toutes les opérations indiquées.
Soient a: la valeur à partir de laquelle lia variable augmente d'une quantité indéterminée A, à laquelle on pourra supposer un signe quelconque, et ¥{x) la fonction proposée.
Nous savons qu'on aura
F(a:-r-/^)--::F(a;) -;d'où
Y [x -r- h] — ¥[x) ^ hY' [x) ~\- Y"[x)
L'accroissement de la fonction, quand la variable passe de X à x-l-/«, est donc représenté par un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de h\ et nous avons démontré que, depuis une certaine valeur de /i jusqu'à zéro, le premier terme li¥\x) aurait une valeur absolue
