CHAPITRE XXVII

plus grande que la somme de tous les autres, pris avec le même signe.

Il résulte de là que le second membre est une quantité de même signe que hF\x). L'accroissement de la fonction, qui est F(j: -}-/?) — F(a:), est donc aussi de même signe que hF'^Jc). D'où résulte cette importante conséquence :

Un polynôme commence par ^varier dans le même sens que la uariable à partir d^une valeur quelconque de x, lorsque pour cette valeur la dérivée est positive : il varie en sens opposé si la dérii^ée est négative.

220. Remarque. — Si, pour la valeur de x que l'on considère, on avait F'[x) = o, le premier terme de l'expression de l'accroissement de la fonction serait

donc, depuis 7î = o jusqu'à une certaine valeur déterminée, le signe du polynôme serait le même que celui de A^ ¥"[x), ou simplement de ¥"[x), puisque /i^ est nécessairement |)Ositif. D'où se tire cette conséquence :

A partir d'une valeur de x qui rend ¥' [x) = Oy un changement de la variable dans un sens quelconque produit toujours un changement de même sens dans la fonction; il est de même signe que ¥" [x).

Mais, si ¥"[x) était nul ainsi que ¥'[x), l'accroissement serait de même signe que h^ ¥'" [x). La variation de la fonction changerait donc de sens en même temps que celle de la variable x ; elle serait de même sens que celle de x, û¥"'[x) était positive, et de sens contraire s\¥"[x) était négative. Des conséquences analogues se produiraient si la valeur de 'a: annulait un plus grand nombre de fonctions dérivées consécutives.

DES VALEURS MAXIMUM OU MINIMUM d'uW POLYNOME.

221 . Lorsqu'une fonction de x varie d'une manière continue, et que la variation de a: à partir d'une valeur particulière a, dans l'un ou l'autre sens, produit une diminution dans la valeur de la fonction, même lorsque cela n'aurait lieu qu'entre deux limites très-voisines de a, on dit que pour cette valeur a de la variable la fonction a une valeur maximum.

Si, dans les mêmes circonstances, il y avait augmentation de la fonction au lieu d'une diminution, on dirait que la valeur de la fonction est minimum.

Il est facile, d'après ce qui précède, de ramener à la résolution d'une équation la détermination des valeurs particulières de X auxquelles correspondent ces valeurs remarquables de la fonction, lorsque du moins elle est réductible à un polynôme entier et rationnel.

En effet, considérant les valeurs de x entre les deux limites dont nous avons parlé, qui comprennent une valeur a à laquelle correspond un maximum ou un minimum de F (a:), on voit qu'en faisant passer x d'une manière continue de la plus petite limite à la plus grande, la fonction, dans le cas du maximum, ira en croissant jusqu'à x=: a et commencera ensuite immédiatement à décroître. DoncF'(:r) sera positif jusqu'à x=^a, et deviendra immédiatement négatif au delà. La fonction F'(x), qui est continue, passe donc par zéro entre les deux limites, et cette valeur ne peut correspondre qu'à .r =i a, puisque pour les valeurs moindres elle est positive, et négative pour les plus grandes. L'inverse aurait lieu dans le cas du minimum. D'où l'on conclut cette proposition :

Les "valeurs de x, qui rendent maximum ou minimum, la valeur d'un polynôme, rendent nulles sa première dérivée.