CHAPITRE XXYII

Il s'ensuit que, si l'on ne considère que des valeurs réelles pour la variable x, il faudra chercher les racines réelles de l'équation

et il ne restera plus qu'à s'assurer pour chacune d'elles si elle donne un maximum ou un minimum.

Et même il faut bien remarquer que, l'équation

n'étant qu'une conséquence nécessaire de la supposition que F(x) est maximum ou minimum, et que nous n'avons pas démontré la réciprocité, il est possible qu'elle renferme des solutions étrangères.

Soit donc a une racine réelle de cette équation, l'accroissement de la fonction aura l'expression suivante :

r(« -!-/,) -F(a)^-^F"(a) + J'^.^Y-ia}-^. ..;

et comme c'est à partir de a qu'on doit considérer les variations de X, et dans un intervalle qu'on pourra supposer aussi petit qu'on voudra, c'est pour des valeurs de h partant de zéro, entre deux limites de signes contraires et aussi petites qu'on voudra, qu'il faut étudier le signe de l'accroissement de F(a7).

Or ce signe est le même que celui de h'^¥"[a) ou de ¥"[a)^ quelque signe qu'ait h. Donc on aura un maximum si F''(<2) <^ o, et un minimum si ¥"[a) > o.

Mais il n'y aurait ni l'un ni l'autre si l'on avait

et que ¥"'[a) fût différent de zéro; car le signe du développement serait le même que celui du premier terme, ou