DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

222. Le principal objet des formules générales est de dispenser de répéter dans chaque cas particulier les mêmes raisonnements et les mêmes opérations, et d'indiquer seulement celles qui sont indispensables. On conçoit cependant qu'il pourrait y avoir plusieurs formes sous lesquelles se présenterait l'expression générale d'une même chose, suivant la manière dont on aurait dirigé la recherche. Il faut dans ce cas choisir celle qui est le plus appropriée à l'objet qu'on a en vue, et qui peut n'être pas toujours le même. Et cette remarque s'applique non-seulement aux racines des éqifations, mais, comme on le pourra voir plus tard, aux résultats des questions d'un ordre beaucoup plus élevé.

Ainsi nous avons vu que la formule des racines de l'équation du troisième degré, dans le cas qui semblerait le plus à l'abri de toute difficulté, dans le cas où ses trois racines sont réelles, se présente sous une forme imaginaire, que l'on démontre bien être réductible à une forme réelle, mais qui ne peut l'être qu'à la condition de résoudre une autre équation du troisième degré qui présenterait des difficultés analogues. Il est vrai que ce cas, qu'on appelle irréductible, est susceptible de transformations qui conduisent à des formes réelles; mais c'est en introduisant des considérations géométriques, et en admettant la construction de Tables d'une très-difficile exécution.

Les équations du quatrième degré se ramenant au troisième offriraient encore plus de difficultés à la réalisation

25o SCIENCE DES NOMBRES.

numérique des formules générales. Et l'on ne saurait beaucoup regretter de ne pouvoir obtenir de formules pour les racines des équations de degrés supérieurs au quatrième, parce que la difficulté de les appliquer aux cas particuliers ne ferait que s'accroître de plus en plus.

En conséquence , le problème général de la résolution des équations a dû se poser de cette manière :

a Etant donnée une équation d'un degré déterminé quelconque, dont les coefficients sont des nombres donnés quelconques, trouver des procédés généraux qui conduisent à la valeur exacte, ou aussi approchée qu'on voudra, de toutes ses racines. »

Pour découvrir ces procédés applicables à tous les cas particuliers, comme on en a déjà pour l'extraction des racines de degré quelconque, qui forment les cas les plus simples, il faut établir un certain nombre de théorèmes généraux, dont quelques-uns ont été démontrés dans les Chapitres précédents.

223. La première question qu'il semble naturel de se faire, quoiqu'il ne soit pas indispensable de savoir y répondre, c'est si le problème qu'on se propose a toujours une solution : en d'autres termes, si toute équation a une racine. Gela a été démontré pour les quatre premiers degrés ; mais il en est ainsi pour les suivants, et peut-on affirmer que le problème difficile dont on se propose de trouver la solution est réellement susceptible d'en recevoir une.

Des théorèmes démontrés précédemment nous ont conduit à ces conséquences générales, que :

1° Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme;

2° Toute équation de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative.