CHAPITRE XXVIII

'" Il ne reste donc d'incertitude que pour les cas d'une équation de degré pair dont le dernier terme est positif.

Or on est parvenu à démontrer qu'w/ze équation de degré quelconque, à coefficients réels ou imaginaires de la forme a +-b \J — i , peut toujours être satisfaite en substituant à Vinconnue un nombre réel, ou une expression imaginaire de cette même forme, les calculs étant toujours effectués suivant les règles convenues et rappelées tajit de fois.

224. De cette proposition, dont la démonstration n'offre aucune autre difficulté qu'un peu de complication, et que nous devons nous borner à énoncer, résulte cette conséquence :

« Toute équation de degré quelconque m, à coefficients réels ou imaginaires, a m racines réelles ou imaginaires.

)) Tout polynôme de degré m, à coefficients réels ou imaginaires, est décomposable, et d'une seule manière, en m facteurs du premier degré ayant pour premier terme a:, et pour second un nombre réel ou une expression imaginaire. »

En effet, toute équation de degré m ayant une racine a réelle ou imaginaire, son premier membre sera divisible par X — a, et le quotient de degré m — i aura ses coefficients réels ou imaginaires de la forme a~\-b \J — i . Ce quotient égalé à zéro aura nécessairement une racine b d'après le théorème général : il sera donc le produit de ^ — h par un quotient de degré m — 2. En continuant ainsi, on parviendra à décomposer le premier membre en m facteurs du premier degré; d'où il suivra que l'équation aura m racines, réelles ou imaginaires, égales ou inégales : et nous avons démontré qu'elle ne pouvait en avoir un nombre plus grand, et que le polynôme quelconque qui forme son pre-

mier membre ne pouvait être décomposé que d'une seule manière en facteurs du premier degré.

225. Mais ces propositions ne sont pas indispensables pour procéder à la recherche des racines d'une équation quelconque, parce que les méthodes qu'on emploiera à cet effet entraîneront la démonstration quand elles réussiront; et si elles ne réussissent pas, la certitude qu'il y a une solution ne la ferait pas mieux trouver, et ne pourrait être utile qu'en donnant plus de confiance et, par suite, plus de ténacité dans la recherche.

226. Les plus grands géomètres se sont occupés de la résolution des équations numériques. Nous ne nous proposons pas ici de faire connaître avec détails les procédés qu'ils ont découverts; mais nous ne pouvons non plus nous dispenser d'en indiquer l'esprit, et d'en signaler en peu de mots les avantages et les imperfections. Nous renverrons pour les détails et les démonstrations aux Traités spéciaux et aux Mémoires originaux.

Les racines se partagent d'abord en deux classes distinctes, les réelles et les imaginaires.

Les réelles se partagent elles-mêmes en deux classes : les racines commensurables et les racines incommensurables. Quant à leurs signes, il suffît de s'occuper de celles qui sont positives, parce que les racines négatives s'y ramènent, comme nous l'avons vu, en changeante en — x.

227. Racines commensarahles. — La recherche des racines commensurables n'offre aucune difficulté. Elle se ramène d'abord à celle des racines entières des équations. En effet, par une transformation qui n'a d'autre effet que de multiplier toutes les racines par un certain nombre entier, on ramène la résolution de toute équation dont les coefficients sont commensurables à celle d'une autre équa-