CHAPITRE XXVIU

tion dont tous les coefficients sont entiers^ et le premier égal à l'unité. Or on reconnaît facilement qu'une équation de cette forme ne peut être satisfaite par un nombre commensurable non entier : toutes ses racines commensurables sont donc entières, et si l'on peut les trouver on connaîtra toutes les racines commensurables de la proposée, en divisant les premières par un nombre entier connu.

La question, étant ramenée à la recherche des racines entières d'une équation, est devenue très-simple. En effet, toute racine entière doit diviser le dernier terme, et, par conséquent, il n'y a qu'à essayer successivement tous les diviseurs de ce nombre, en réduisant ces essais au plus petit nombre possible. Nous n'en dirons pas davantage sur ce point, et nous admettrons que toutes les racines commensurables de l'équation proposée ont été trouvées, et qu'on a divisé son premier membre par les facteurs du premier degré en x qui leur correspondent. Et après cette division on peut encore essayer si les mêmes racines annuleraient le quotient, auquel cas on supprimerait les nouveaux facteurs correspondants; et l'on continuerait ainsi jusqu'à ce qu'on soit bien assuré que toutes les racines commensurables simples ou multiples ont été enlevées de l'équation.

Il ne reste plus alors qu'à chercher les racines incommensurables, ce qui offre des difficultés beaucoup plus grandes.

228. Racines incommensurables. — Quelque marche qu'on suive dans cette recherche, on commence toujours par tâcher de séparer toutes les racines, c'est-à-dire de trouver pour chacune deux nombres qui la comprennent entre elles, et n'en comprennent aucune autre. Si l'on y parvient, il existe divers procédés certains pour resserrer indéfiniment ces limites, et par conséquent pour connaître chaque racine à aussi peu près qu'on voudra. La première question à résoudre est donc la séparation des racines.

254 SCIENCE DES NOMBBES.

Lagrange est le premier qui l'ait résolue d'une manière rigoureuse. Il forme une équation qui ait pour racines toutes les différences deux à deux de celles de la proposée, supposées toutes inégales, ce qui est possible parce qu'on a des procédés généraux pour ramener tous les cas à celui-là; et il prend une limite inférieure de ses racines. Cette quantité étant moindre que la différence des racines les plus rapprochées, dans la proposée, si l'on substitue dans son premier membre des nombres croissant par degrés égaux à cette limite, on ne pourra passer par-dessus deux racines ; il ne pourra y en avoir qu'une seule comprise entre deux nombres consécutifs, et quand cela arrivera on en sera averti par la différence des signes des deux résultats. Si donc on procède ainsi en partant de la limite inférieure des racines positives de la proposée, jusqu'à la limite supérieure, toutes les racines positives seront séparées : et ce sont les seules dont il soit nécessaire de s'occuper, puisque les racines négatives sont au signe près les racines positives de l'équation déduite de la proposée en changeant x en — X.

Pour la commodité, tant des substitutions des nombres équidifférents que des calculs qui suivront, Lagrange divise toutes les racines par la différence de cette progression; les différences des racines, se trouvant divisées par ce même nombre, seront plus grandes que l'unité, et il suffira de substituer la suite des nombres entiers.

Les racines étant séparées, il les considère toutes successivement, et y applique le procédé suivant :

Si a et a -[- I désignent les deux nombres qui comprennent une seule de ces racines, on posera ,

l'équation enj^ sera du même degré que celle en x, mais