CHAPITRE XXVIII

elle n'aura qu'une seule racine positive plus grande que l'unité; il sera donc facile de trouver les deux nombres entiers Z> et b -\- i entre lesquels elle est comprise. On posera alors

L'équation en j' sera encore du même degré que celle en j et que celle en x, mais n'aura qu'une seule racine positive plus grande que l'unité. Désignant par c et c -H i les deux nombres entiers consécutifs entre lesquels elle est comprise, on posera

Si l'on s'arrêtait là, on aurait

y" étant encore compris entre deux entiers consécutifs connus ; et l'on appréciera facilement les limites entre lesquelles X sera compris. Si elles ne sont pas assez rapprochées, on continuera d'appliquer le même procédé; et la théorie des fractions continues, qui donne la mesure de l'erreur, montre qu'en général elle décroît rapidement.

Au point de vue de la théorie pure, cette belle méthode ne laisse rien à désirer. Elle ne demande que des opérations qu'on sait effectuer, et pour la dignité de la science il était nécessaire de trouver un procédé qui conduisît avec certitude à la solution.

Mais la recherche de l'équation aux différences, ou aux carrés des différences, est très-laborieuse, et Ton a cherché avec plus ou moins de succès à l'éviter. La pratique y a

gagné dans bien des cas; mais les incertitudes inévitables des nouveaux procédés ôtent à la méthode cette netteté et cette précision qui distinguent celle de Lagrange.

229. Fourier a donné des moyens généraux très-simples pour reconnaître si deux nombres donnés ne comprennent aucune racine, ou s'ils peuvent en comprendre. Il fait connaître combien il peut au plus y en avoir de comprises, mais malheureusement il peut y en avoir un nombre moindre. Si cela est, la différence de ces deux nombres est un nombre pair, et indique autant de racines réelles manquant dans la proposée ; par ce moyen on est dispensé de chercher des racines dans les intervalles où l'on a appris qu'il ne pouvait y en avoir.

Pour opérer la séparation des racines qui peuvent être dans un certain intervalle, il emploie des procédés d'une exécution facile, mais subordonnés aux résultats numériques successivement obtenus, et dont il n'est pas possible de bien préciser l'effet. Lorsqu'il est parvenu à séparer toutes les racines réelles, les procédés pour approcher indéfiniment de chacune d'elles comportent aussi quelques tâtonnements et essais, dirigés, il est vrai, vers un but bien déterminé, mais dont on ne peut calculer le nombre avec rigueur. Quand la recherche est arrivée à un certain degré bien défini, la méthode d'approximation qu'il emploie est celle de Newton, mais considérablement perfectionnée, tant sous le rapport de la rapidité que des moyens de s'assurer des limites de l'erreur. Cette méthode, que Newton n'a appliquée qu'aux équations à une seule inconnue, mais qui pourrait l'être à toutes les équations en nombre quelconque, dont on connaît des solutions suffisamment approchées, consiste à substituer aux inconnues ces valeurs approchées respectives augmentées de quantités indéterminées, qui dans le cas que l'on considère doivent avoir