CHAPITRE XXVIII

des valeurs très-petites. D'après cela, on peut se croire en droit de négliger les puissances de ces inconnues, supérieures à la première, et leurs produits les unes par les autres; de sorte que la question est ramenée à la résolution d'équations du premier degré. C'est là le procédé employé par Newton, mais sans aucune des garanties et des moyens d'abréviation que renferme la méthode de Fourier, qui, sous tous ces rapports, n'a point encore été surpassée.

2.30. L'important théorème de Fourier sur le nombre des racines qui peuvent être comprises entre deux nombres donnés est d'une application très-facile , et comprend même, comme cas particulier, la célèbre règle des signes de Descartes. Mais il a, comme celui de Descartes, l'inconvénient de laisser croire à la possibilité de racines qui souvent n'existent pas, et de donner lieu à beaucoup de calculs inutiles, avant qu'on parvienne à reconnaître leur absence. Cette lacune dans la théorie de cet illustre géomètre devait être comblée de son vivant et, comme cela était assez naturel, par un de ses propres disciples.

231. Sturm, qui avait connaissance, comme il le dit luimême, non-seulement des Mémoires publiés par son maître, mais encore de tous ses travaux manuscrits, et qui pouvait par conséquent juger avec précision ce qui manquait à la théorie, chercha d'abord à bien reconnaître ce qui empêchait Fourier de pouvoir assigner le nombre exact des racines comprises entre deux nombres donnés, et ne permettait d'en indiquer avec certitude qu'une simple limite. Ayant reconnu la cause, il chercha à y remédier en substituant aux fonctions dérivées employées par Fourier d'autres polynômes très-différents, qui n'offraient plus le même inconvénient. Et alors, imitant, comme il le dit avec naïveté, les démonstrations de son maître, il est parvenu à la découverte du théorème qui porte son nom, et qui permet

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d'assigner le nombre exact des racines comprises dans un intervalle donné.

Malheureusement l'application de ce théorème n'est pas aussi facile que celle du théorème de Fourier; les calculs sont très-longs, par conséquent exposés à des erreurs qui pourraient infirmer les conséquences : on peut bien quelquefois les éviter par des remarques particulières, mais tout le monde ne peut pas les faire, et l'on a besoin de procédés que tout le monde puisse employer avec le même succès. Il est vrai que ces longs calculs pourraient servir dans le cas où l'on appliquerait la théorie des racines égales : mais enfin, pour le but même que se propose le théorème, le grand avantage qu'il procure est quelquefois acheté un peu cher.

Pour procéder à la séparation des racines réelles, supposées toutes inégales, on pourra chercher d'abord les nombres de racines comprises dans les intervalles des nombres successifs o, i, lo, loo, . . . jusqu'à la limite supérieure, et Tonne s'occupera que de ceux de ces intervalles où il s'en trouvera. Supposons, par exemple, qu'il y en ait trois entre i et lo. On essayera le nombre moyen 5 et l'on saura combien il y aura de racines entre i et 5, et par suite entre 5 et lo. S'il y en a une dans l'un des intervalles et deux dans l'autre, on ne s'occupera plus que de la séparation de ces deux : et pour cela on essayera le nombre moyen, et l'on continuera ainsi jusqu'à ce que les trois soient séparés. Ce procédé pourra exiger beaucoup d'essais, s'il y a des racines qui aient entre elles une très-petite différence ; mais dans ce cas aussi le procédé de Lagrange en demanderait beaucoup, sans compter que, si l'on ne faisait pas usage de celui de Sturm, on ferait des essais innombrables dans des intervalles où il n'existe aucune racine. Les racines étant séparées, on procéderait à la recherche de leurs valeurs approchées au moyen de la méthode de Fourier.