CHAPITRE XXVIII

Nous n'avons fait qu'indiquer imparfaitement ces remarquables méthodes, parce qu'il faudrait trop de développements pour les faire bien connaître, et que cela sortirait même des bornes qu'on s'impose ordinairement dans les Traités spéciaux d'Algèbre. C'est dans les ouvrages mêmes des auteurs qu'il faut les étudier : et nous devons d'autant plus nous en dispenser qu'elles n'offrent aucune difficulté fondamentale, et qu'on en saisit immédiatement l'esprit. Toutefois, il était nécessaire d'en dire quelques mots à cause de leur importance théorique et pratique.

232. Racines imaginaires . — Nous savons que les équations dont le premier membre est un polynôme à coefficients réels, ou de la forme a-\-h y/ — i , ne peut avoir que des racines réelles, ou de la forme a -h ê y/ — ^ i , et que le nombre de ces racines est égal au degré de l'équation, en tenant compte du degré de multiplicité des racines.

Gela posé, si l'on cherches les racines de cette forme, il suffira de substituer à x, y -^- z \^ — i dans l'équation, et d'égaler à zéro la partie réelle et le coefficient de \j — i. On aura ainsi deux équations entre j et ^, dont il faudra chercher les solutions communes réelles. Nous nous bornerons sur ce point à cette simple indication.

La résolution de deux équations à deux inconnues, à laquelle on est ainsi ramené, se fait ordinairement par l'élimination de l'une des deux, ce qui exige des calculs trèspénibles et des discussions très-épineuses, venant du défaut de réciprocité des problèmes successifs auxquels on est ramené. Cette question est traitée avec détail dans les ouvrages spéciaux; mais nous croyons d'autant plus pouvoir nous en dispenser que, pour la résolution des équations numériques, nous avons entendu Fourier déclarer positivement que la méthode d'élimination ne devait pas être

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employée ; qu'il fallait approcher en même temps des valeurs de toutes les inconnues ; et que la seule méthode à employer était celle de Newton, étendue à plusieurs inconnues, et perfectionnée pour ce cas comme elle l'avait été pour le cas d'une seule inconnue. Malheureusement les idées de ce grand géomètre sur ce point important n'ont jamais été publiées.

Lorsque l'on aura étudié les principales théories de la Géométrie élémentaire, et de l'application réciproque que l'on peut faire de cette science et de celle des nombres, on pourra revenir sur la résolution des équations numériques et sur quelques autres questions que nous n'avons fait qu'indiquer, parce que leur solution est considérablement facilitée par les secours que la Géométrie peut prêter à la science des nombres.