D'APRÈS UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE
233. Euler, cherchant à étendre la formule du binôme à un exposant quelconque, a été conduit à cette question : Trouver une fonction (f satisfaisant à la condition que, quelles que soient les valeurs des variables Xj j , oi^ ^it
Dans une autre question , Lagrange s'est proposé de déterminer une fonction g) par cette autre condition
Les solutions de ces grands géomètres laissaient à désirer sous le rapport de la rigueur ; mais Gauchy, dans son Cours d' analyse algébiique, en a donné qui sont exemptes de toute difficulté, et que nous présenterons avec de légères modifications.
Problème I.
234. Trouver la forme la plus générale de la Jonction réelle (f qui jouit de la propriété qu'on ait, quelles que soient les valeurs réelles de x,y,
La marche que nous suivrons sera analytique, par voie
de déduction, c'est-à-dire que nous chercherons successivement de nouvelles propriétés dont doive jouir toute fonction qui satisfait à (i); en d'autres termes, admettant qu'une fonction © satisfasse à (i), nous en déduirons des conséquences, jusqu'à ce que nous parvenions à reconnaître qu'elle satisfera à quelque condition constituant une nouvelle question qu'on puisse résoudre.
Nous saurons seulement, d'après les méthodes générales exposées précédemment, que toutes les fonctions satisfaisant à la condition (i) sont renfermées parmi celles qui satisferont à la dernière ; mais que celle-ci peut en renfermer d'étrangères, si l'on n'a pu s'assurer de la réciprocité. Il restera donc à les reconnaître et à s'en débarrasser, s'il est possible.
Nous remarquerons d'abord que, si une fonction satisfait à (i), quels que soient j}'^ et x^ elle y satisfera quand on prendra j égal à x^ et par conséquent satisfera à la suivante :
^( j?j ^(^) —z (j>[2.rj ou (jj (.r]- r=z ©[2.r).
De même elle satisfera à (i) en prenant jrrr 20:, ou à
et, d'après la précédente, à
Continuant ainsi de prendre pour j des multiples successifs de x, on arrivera à
(2) ,r^[xy-^^[mx].
m représentant un nombre entier quelconque.
Ainsi toute fonction satisfaisant à la condition (i) satisfera à (2) ; et, par conséquent, si l'on déterminait toutes les
