CHAPITRE XXIX
solutions de celle dernière, elles renfermeraient celles de la proposée, mêlées peut-être avec des solutions étrangères.
Mais nous allons démontrer que la fonction cherchée doit satisfaire à (2), non-seulement pour les valeurs entières et positives, mais pour toutes les valeurs réelles de m.
D'abord, l'équation (2) montrant que la fonction ^{x) se trouve élevée à la puissance ni, quand on multiplie la valeur arbitraire de la variable x par m, il s'ensuit qu'en divisant la variable par un nombre entier m, on obtient la
je racine m""™^ de la fonction. Car, partant de la valeur —
de la variable, et par suite de la valeur 9 ( " ) de la fonc-
tion, si l'on multipliait la valeur — par m, on aurait la ^ m ^
puissance m de (^1 — J. Or on trouve (p( a:) en opérant ainsi
sur la variable; donc (p(x) est la puissance m^*^™® de cp ( — j-, et, par suite,
On peut passer de là à la multiplication de la variable par un nombre rationnel quelconque - • En effet,
d'après ce qui vient d'être démontré ; et si l'on multiplie par p la valeur - (
la fonction ; donc
par/? la valeur - de la variable, on élève à la puissance p
Et, par conséquent, la fonction cherchée doit satisfaire
à l'équation (2), quel que soit x, et pour toute valeur positive commensurable de /tz, et par conséquent aussi pour toute valeur incommensurable.
Pour démontrer qu'elle y satisfera encore pour toute valeur négative de m, il faut d'abord connaître l'effet produit sur la fonction par le simple changement de signe de la variable. Pour cela, on feraj)^~ — x dans l'équation (i), qui devient alors
et, pour connaître <^(o), on fera j : ~ o dans (i), ce qui donnera
et, par suite, d'oii résulte
?io) =^
W rz: — n.
Gela posé, soit n étant un nombre quelconque positif, on aura
et, d'après l'équation (i) démontrée pour m positif, on aura
Donc
^( — nx)z=z:(f[x)—'^ OU (f[mx) ■=^(f[x)"^^
pour toute valeur négative de /tz, les exposants négatifs étant entendus dans le sens expliqué précédemment.
On peut conclure de tout cela que toute fonction qui
