CHAPITRE XXIX

satisfera à l'équation (i), quelles que soient les valeurs réelles de x, j, satisfera, quelles que soient les valeurs réelles de x et m, à Téquation (2) qui est

Elle satisferait donc aussi à la suivante :

rf[mY^'f[-Tm\

et, par conséquent, à celle-ci

qui équivaut à

.(mr=.L{-rJ

La fonction (^(x) ne peut donc être que la puissance x d'une quantité indépendante de x, qu'on appelle ordinairement une constante, relativement à .r, parce qu'elle peut conserver la même valeur quand x varie.

Il ne reste donc plus qu'à connaître la valeur de cette

constante ç(/w)"% que nous désignerons par a, et à s'assurer s'il n'y a pas de solutions étrangères.

Il suffira pour cela de substituer a-^, ay et a^'^y à ©(x), '?(jr)> 9(*^~'~jr)y ^^ ^6 ^^^^ ^6 que doit être a pour que la condition (i) soit remplie. Or elle l'est identiquement, quel que soit a. La solution de la question proposée peut donc être ainsi exprimée :

La fonction la plus générale qui satisfait à la condition (i) est l'exponentielle a-^, dont la base a est quelconque, mais indépendante de la variable x.

Si l'on avait des données particulières sur la fonction ^[x)y la constante a pourrait se trouver déterminée;

comme, par exemple, si l'on connaissait la valeur qu'elle doit avoir pour une certaine valeur de x.

Problème II.

235. Détej^miner la fonction (p par la condition que l'on ait, quelles que soient les valeurs réelles de x et j,

La suite des raisonnements est tellement semblable dans ce problème et dans le précédent, que nous ne ferons en quelque sorte que les rappeler.

Ainsi, en faisant successivement y égal aux multiples entiers de x, on aura, pour toute valeur entière et positive de 772,

Toute fonction (p satisfaisant, quels que soient x Ql J, à (i) devra donc satisfaire à (2), quel que soit x, pourvu que 772 soit entier et positif.

On démontrera, comme dans le cas précédent, que cette fonction devra satisfaire à (2) pour toute valeur positive de 772; et ensuite pour toute valeur négative, et par conséquent pour toute valeur réelle de 772 aussi bien que de x.

Elle satisfera donc à la suivante ;

oc (f[m] ■=: ^ ( xm ) , et, par suite, à celle-ci

qu'on peut mettre sous la forme

La fonction cherchée est donc renfermée dans la forme