CHAPITRE XXIX

générale ax, a désignant une quantité indépendante de x, ou une constante relativement à la variable x.

Pour savoir ce que doit être cette constante, et s'il y a des solutions étrangères, comme cela pourrait être, puisque la fonction trouvée satisfait seulement à une question qui est une conséquence de la proposée, il faut la substituer dans l'équation (i), qui est l'expression de cette dernière. Or on trouve une identité, quel que soit a.

On a donc pour la fonction (p demandée

a étant une constante arbitraire. Cette constante serait déterminée si l'on connaissait la valeur de ^^{x) pour une valeur particulière de x, différente de zéro.

Problème III.

236. Trouver la fonction la plus générale satisfaisant, quelques valeurs réelles qu aient x et j, à la condition

Faisant j^ = 07, on aura

Faisantj^=:o:-, on aura et pour toute valeur entière et positive de w,

Or, puisque l'élévation de la variable à une puissance entière produit l'élévation de la fonction à la même puissance, il en sera de même pour l'extraction de la racine ;

et si l'on fait ces deux opérations successivement, on trouvera que l'élévation de a: à la puissance positive quelconque - produit l'élévation de (d{x) à la puissance -•

La fonction qui satisfait à (i) pour toute valeur réelle de a: et j satisfait donc à (2), quel que soit jc et quelle que soit la valeur positive de m.

Supposons maintenant m négatif, et posons

mT= — n, d'où

n étant positif.

Pour savoir comment, en général, doit changer la fonction ç quand on change la variable dans sa valeur réciproque, faisons

) donnera

et, pour connaître çp(i), il faudra faire y = i dans (i), qui deviendra alors

d'où

et, par suite.

Il suit de là, en partant de la valeur :c" de la variable.