CHAPITRE XXIX

et, comme n est positif, on a

d'où

L'équation (2) doit donc être satisfaite, quels que soient x et ni, par toute fonction satisfaisant à la question proposée.

Pour obtenir dans le second membre la symétrie que les deux problèmes précédents ont présentée, il suffît de poser

a étant une constante positive, pour que x soit toujours réel ; et z pouvant avoir toutes les valeurs positives ou négatives, mais en s'assujettissant à ne prendre pour x que des valeurs positives. L'équation (2) deviendra

Changeant z en m, et réciproquement, il vient

d'où

et, par suite.

b étant indépendant et positif, si l'on ne considère que les valeurs réelles de cj*(a^) ou de ^^{x) de z, et par suite de x. Remplaçant a^ par a: et ^ par a^, la dernière équation devient

c désignant une valeur réelle arbitraire.

Pour reconnaître si elle est assujettie à des restrictions, substituons cette forme de cp dans (i), nous obtiendrons

équation identique, quel que soitc.

La solution générale de la question proposée est donc donnée par la formule (3). Mais il faut bien remarquer que nous nous sommes assujettis à ne prendre que les valeurs positives des variables, pour n'avoir que des valeurs réelles pour la fonction.

Problème IV.