DES SÉRIES

238. On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est illimité.

Les fractions décimales périodiques nous en ont offert le premier exemple. Les périodes, considérées avec leur valeur de position, constituaient même une des séries les plus simples que l'on puisse concevoir, une progression par quotient. En prenant au lieu de cela pour termes les différents chiffres avec leur valeur de position, on aurait une série dont la loi serait moins simple. Mais, de quelque manière qu'on réunisse les chiffres pour composer des termes, on obtiendra ce que nous nommons une série; tous ses termes seront positifs, et, comme nous l'avons prouvé, leur somme tendra vers une limite déterminée.

De quelque forme que soient les termes d'une série, il faut, pour qu'elle puisse donner lieu à des considérations de grandeur, quand on ne fixe pas le nombre des termes et qu'on entend les ajouter indéfiniment les uns aux autres, que la somme de ces termes converge vers une limite déterminée, lorsque leur nombre augmente sans limite.

Et commençons par rappeler le sens précis que nous attachons au mot limite.

La limite d'une njariahle est une quantité fixe telle, que la différence de la uariable à cette quantité puisse devenir et rester au-dessous de toute quantité désignée.

Dans cette définition, il n'est pas question du signe de la différence ; de sorte que la variable peut être tantôt inférieure, tantôt supérieure à la quantité fixe. La variable