CHAPITRE XXX

peut être continue ou discontinue. La seule chose essentielle, c'est qu'après des écarts, aussi irréguliers qu'on voudra les imaginer, la variable finisse par rester comprise entre deux valeurs, l'une plus grande, l'autre plus petite que la quantité fixe, et dont la différence à cette quantité puisse être prise moindre que toute grandeur désignée, si petite qu'elle soit.

239. Il n'est utile de considérer que les séries dont la somme des termes tend vers une limite à mesure que leur nombre augmente indéfiniment. Nous les désignerons sous le nom de séries convergentes. Nous appellerons divergentes celles dont la somme des termes ne tend vers aucune limite, soit parce qu'elle grandit indéfiniment avec un signe quelconque, soit que, tout en restant limitée, elle ne s'approche indéfiniment d'aucune quantité fixe. Ces dernières ne peuvent représenter aucun nombre déterminé. Les premières, au contraire, peuvent représenter leur limite à aussi peu près qu'on voudra.

240. L'expression d'une quantité par une série dont elle est la limite peut avoir pour objet de substituer à une indication d'opérations compliquées une suite de termes plus simples, et dont on peut souvent choisir la forme de manière qu'elle soit le mieux appropriée à la question. C'est ce qu'on fait quand on substitue une fraction décimale périodique à une fraction ordinaire. Quelquefois la quantité développée en série ne peut être obtenue exactement, même quand les nombres dont elle dépend sont particularisés, comme par exemple quand elle dépend d'extractions de racines de nombres qui ne sont pas des puissances exactes. Enfin la quantité développée peut être une inconnue, dépendant même de variables arbitraires, et qu'il est possible de considérer comme limite de la somme d'un

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nombre indéfini de termes renfermant ces variables sous la forme qu'on a jugée la plus favorable.

Dans tous les cas, pour qu'une série puisse être employée au calcul des grandeurs, il faut qu'elle ait une limite et que cette limite soit bien la quantité qu'on a voulu exprimer. La première chose dont on doit s'occuper dans cette théorie est donc de trouver des moyens de s'assurer si une série est ou n'est pas convergente. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer ces règles, qui se trouvent dans tous les Traités ; mais nous ne pouvons non plus nous dispenser entièrement d'en parler.