DES RÈGLES POUR LA CONVERGENCE DES SÉRIES

241 . La plus simple de toutes les séries convergentes est la progression par quotient, dont la raison est plus petite que l'unité. Archimède est le premier qui ait donné l'expression de la somme de ses termes, et ait reconnu la limite vers laquelle elle tend. C'est ^à cette série qu'on a d'abord pensé à comparer toutes les autres ayant comme elle tous leurs termes positifs.

Cette comparaison est fondée sur cette considération bien évidente que, si tous les termes d'une série sont inférieurs à leurs correspondants dans une autre, la somme d'un même nombre quelconque de termes, supposés tous positifs, sera moindre dans la seconde que dans la première; et que, par conséquent, si cette somme tend vers une limite dans la première, elle aura aussi une limite dans la seconde. Comme aussi on peut affirmer que si deux séries à termes positifs sont telles, que les termes de la seconde soient tous plus grands respectivement que ceux de la première, et que la somme des termes de celle-ci croisse indéfiniment avec le nombre des termes, il en sera de même à plus forte raison dans la seconde.

CIIAIMTKE XXX. 2^5

D'après cela, il a été assez naturel de penser que, puisqu'une série est convergente lorsque le rapport d'un terme au précédent est constant et plus petit que l'unité, il en serait de même d'une série dans laquelle ce rapport ne serait pas constant, mais serait toujours inférieur à un nombre fixe plus petit que l'unité. Car ses termes seraient inférieurs à ceux de la série que l'on obtiendrait en prenant, au lieu du véritable rapport, ce nombre fixe qui lui est constamment supérieur. Or cette dernière serait une progression par quotient, ayant une limite. La proposée en aurait donc aussi.

Et il faut bien remarquer qu'il n'est pas nécessaire que cette condition ait lieu dès le premier terme de la série ; il suffît qu'elle ait lieu depuis un certain terme, quelque avancé qu'il soit dans la série : car, la somme de tous les termes précédents étant déterminée, l'existence d'une limite pour la somme des termes de la série ne dépend pas de ceux qui suivent. On a donc pu formuler cette première règle pour reconnaître la convergence des séries dont tous les termes sont positifs, et qui est vraie à plus forte raison quand les signes ne sont pas tous les mêmes :

« Une série est convergente quand, à partir d'un de ses termes, le rapport d'un terme au précédent est toujours au-dessous d'un nombre fixe plus petit que l'unité. »

242. Et l'on conclut facilement de ce qui précède cette autre proposition :

u Une série est divergente quand, à partir d'un de ses termes, le rapport d'un terme au précédent est toujours supérieur à un nombre ûxe plus grand que l'unité. »

Car ses termes seront supérieurs à ceux d'une progression par quotient dont le rapport sera plus grand que l'unité, et dont les termes iront par conséquent en croissant sans limite. Ainsi la somme des termes de la série proposée

croîtra sans limite s'ils sont de même signe ; et, lors même que les termes seraient les uns positifs, les autres négatifs, ce qui tend à établir des compensations, la série ne satisferait pas aux conditions qui entrent dans notre définition de limite, puisque, ses termes croissant sans limite, la différence de deux sommes consécutives croîtra indéfiniment; et par conséquent leur différence à une même quantité fixe ne peut être au-dessous de toute grandeur donnée. La même conclusion aurait encore lieu si les termes, au lieu de croître indéfiniment, étaient seulement toujours supérieurs à un nombre fixe, si petit qu'il fût.

243. Mais quelle règle donner pour reconnaître si le rapport d'un terme au précédent finit par être toujours inférieur à un nombre plus petit que l'unité, ou toujours supérieur à un nombre plus grand que l'unité ?

Lorsque la loi de la série ne permettra pas de reconnaître immédiatement l'une ou l'autre de ces conditions, on prendra l'expression générale du rapport d'un terme au précédent, et l'on aura ainsi une certaine fonction du nombre qui exprime le rang du premier des deux. On cherchera la limite vers laquelle tend cette fonction à mesure que ce nombre augmente, et c'est à ce problème bien déterminé que se ramène la solution de celui qu'on se propose. Car si cette limite est moindre que l'unité, le rapport, qui en approche indéfiniment, finira par être toujours inférieur à tout nombre compris entre cette limite et un nombre choisi arbitrairement entre elle et l'unité. Et l'on voit de même que le rapport finira par être toujours supérieur à un nombre plus grand que l'unité, si cette limite est plus grande que l'unité.

Le seul cas où il y aurait doute sur la convergence ou la divergence d'une série serait, donc celui où la limite en question serait l'unité. Et encore il n'y aurait aucun doute