CHAPITRE XXX

si le rapport tendait vers l'unité, en étant toujours au-dessus : car alors les termes de la série iraient constamment en croissant, et, par conséquent, quels que fussent leurs signes, la série ne serait pas convergente.

C'est donc pour le cas que cette première règle si simple laisse douteux qu'il faut en chercher d'autres plus efficaces ; et c'est à quoi l'on est parvenu, sans en avoir cependant pu découvrir qui soient applicables avec succès à tous les cas. Nous laisserons ces détails intéressants aux Ouvrages et Mémoires qui traitent ce sujet spécial.

244. Limite de V erreur. — Quand on veut calculer par approximation la limite de la somme des termes d'une série, il est absolument nécessaire de déterminer une Ihnite supérieure de l'erreur commise, en arrêtant la somme à un terme quelconque. Cela est facile lorsque l'on a reconnu qu'à partir de ce terme le rapport d'un quelconque au précédent est au-dessous d'un nombre connu, plus petit que l'unité. Car alors, en supposant le même signe -H à tous les suivants, la limite de leur somme, qui constitue l'erreur, est moindre que la limite de la somme d'une progression convergente connue ; cette dernière est donc supérieure à l'erreur commise, et la question est résolue.

245. Séries dont les termes sont alternativement positifs et négatifs. — Si, à partir d'un certain terme d'une série, les suivants sont alternativement positifs et négatifs, décroissant constamment et pouvant devenir moindres que tout nombre donné, la série est toujours convergente; et à quelque terme qu'on arrête la somme, l'erreur est moindre que le terme suivant, et de même signe que lui.

La démonstration de cette proposition est très-facile, et nous n'en parlerons pas ; mais nous ferons sur ces sortes de séries une remarque assez curieuse, quoique sans grande utilité.

Si l'on considère séparément la série formée de tous les termes positifs de la proposée, et celle qui serait formée de tous ceux qui sont négatifs, et qu'on prendrait avec le signe H- , les sommes des termes de ces deux nouvelles séries pourraient n'avoir pas de limite, parce qu'il ne suffît pas pour cela que les termes tendent vers zéro. Dans le cas où elles n'en auraient ni l'une ni l'autre, la somme des termes de la proposée est la différence de deux sommes variables, indéfiniment croissantes, et dans lesquelles il est expressément entendu que le nombre des termes sera le même, à une unité près tout au plus. Mais ce serait un non-sens que de dire que la limite de la proposée est la différence des sommes infinies des deux séries. Et ce serait une erreur de croire qu'on peut prendre des nombres arbitrairement inégaux de termes dans l'une et dans l'autre, et faire la différence des deux sommes. On n'aurait aucune raison de croire que la limite de cette différence serait la limite de la proposée, qui s'obtient en prenant des nombres de termes égaux, à une unité près tout au plus. Mais il y a plus, et l'on peut facilement reconnaître que, même en avançant indéfiniment dans les deux séries, la différence des sommes est complètement indéterminée, ainsi que sa limite .

En effet, que l'on prenne dans l'une des deux un certain nombre de termes; on pourra dans l'autre, dont la somme n'a pas de limite, prendre assez de termes pour que leur somme surpasse la première de plus qu'une quantité désignée, ou soit avec elle dans un rapport supérieur à un rapport donné. On peut donc avoir pour la différence des deux sommes une quantité tendant vers une limite arbitraire, ou même devenant plus grande que toute quantité donnée.

Il n'y a là rien de plus remarquable que dans toutes les questions où une quantité est la limite de la différence de deux quantités indéfiniment croissantes, mais qui doivent