CHAPITRE XXX

être prises simultanément suivant des conditions bien déterminées. La Géométrie en offrirait des exemples simples, en aussi grand nombre que l'on voudrait.

Ce n'est pas seulement la différence de deux quantités indéfiniment croissantes qui peut donner lieu à ces remarques. On exprime quelquefois des quantités par le rapport de deux produits composés d'un nombre indéfiniment croissant de facteurs : c'est ainsi, par exemple, que Wallis a représenté le rapport de la circonférence au diamètre. Le nombre des facteurs doit être le même au numérateur qu'au dénominateur; et si l'on en mettait seulement un de plus d'un côté ou de l'autre, on aurait des résultats entièrement erronés. Dans ce cas, c'^st le rapport au lieu de la différence de deux quantités indéfiniment croissantes; et il n'y a pas lieu de dire que la limite du rapport ou de la différence est le rapport ou la différence des limites, puisque ces limites n'existent pas. Mais si l'on fait ce que les raisonnements ont prescrit, on n'éprouve aucune difficulté ; et si l'on fait autre chose, à quelque contradiction ou absurdité qu'on arrive, on n'a pas le droit de s'en étonner.

Lejeune-Dirichlet est, je crois, le premier qui ait publié la remarque que divers groupements des termes positifs et négatifs d'une série peuvent donner des résultats différents pour les limites. Je pense que ceux qui voudront bien réfléchir un instant sur ce que nous venons de dire trouveront qu'on a attaché trop d'importance à la remarque de cet éminent géomètre.

246. Remarque sur les séries qui sont convergentes quand tous leurs termes sont pris avec le même signe. — Soient deux séries convergentes, ayant tous leurs termes positifs,

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28o SCIENCE DES NOMBRES. - - CHAPITRE XXX.

Désignons par S, S'ies limites de leurs sommes, et par S,,, S', les sommes des n premiers termes de chacune d'elles; et formons une troisième série dont le terme général soit

Il est facile de voir que la somme a,i des n premiers termes de cette nouvelle série sera plus petite que le produit des deux polynômes S« , S'„ , et plus grande que le produit de Sjf,, par S'^, p désignant la moitié de tz ou de /z -f- i , suivant que n sera pair ou impair : de sorte qu'on aura

o-« < S„ S;^ et 0-^ > S^ S'^, .

Or les deux produits Sj^S'^ et S«S'„ ont la même limite SS': donc Qni qui est compris entre les deux, a aussi pour limite SS'.

247. Et l'on voit en même temps qu'il en serait de même si les deux séries n'avaient pas tous leurs termes positifs, pourvu qu'elles restassent convergentes en prenant tous leurs termes avec le signe -i-.

En effet, si l'on forme la troisième série au moyen des deux séries telles qu'elles sont données, a^ contiendra tous les termes que donnerait la multiplication de S^ par S'^, et d'autres encore, dont nous allons montrer que la somme tend vers zéro. En effet, si, au lieu de les prendre avec leurs véritables signes, on les prenait tous avec le signe -f-, leur somme serait la différence qui existerait entre les valeurs que l'on trouverait au lieu de (7,^ et de S^SJ^, si l'on prenait tous les termes des deux séries proposées avec le signe -i-. Or cette différence a une limite nulle, puisqu'il vient d'être démontré que dans ce cas Gr„ et S^SJ^ ont la même limite. Il en est donc de même dans le cas des séries proposées.