CHAPITRE XXXI

DE LA FORME SINGULIÈRE SOUS LAQUELLE SE PRÉSENTE LA BASE DU SYSTÈME DE LOGARITHMES DE NEPER; SÉRIE QUI LA REPRÉSENTE. - DÉTERMINATION DE QUELQUES AUTRES EXPRESSIONS SINGULIÈRES.

248. Nous avons montré précédemment que tous les nombres pouvaient être considérés comme les puissances d'une base fixe, et nous avons nommé l'exposant de cette puissance le logarithme du nombre correspondant : de sorte que, dans la base a, la relation entre un nombre quelconque j>^ et son logarithme x est

(l) jrr==«^;

d'où l'on voit que, si l'on prend des logarithmes en progression par différence, commençant par zéro, les nombres correspondants formeront une progression par quotient, commençant par l'unité.

C'est cette dépendance que le premier inventeur a établie entre les nombres et leurs logarithmes, et non celle qu'exprime l'équation exponentielle (i). En partant de cette définition, il a démontré les théorèmes au moyen desquels les opérations sur les nombres sont ramenées à des opérations de degré inférieur sur leurs logarithmes, à la condition d'avoir construit une table qui fasse connaître le logarithme par le nombre, et le nombre par le logarithme.

De même que notre définition, représentée par l'équation (i), a conduit à la propriété qui a servi de définition

à Neper, il est facile réciproquement de déduire la nôtre de celle-ci.

Soient, en effet, les deux progressions

tO. i . 2(? m^

Si l'on désigne par xelj les deux termes correspondants au rang quelconque marqué par le nombre m, on aura

et l'on aura la relation générale entre un nombre et son logarithme, en éliminant m entre ces deux équations; ce qui donnera

Or, pour que la considération de ces deux progressions puisse être utile aux calculs numériques , il faut que les nombres entiers auxquels ils se ramènent toujours puissent être considérés comme faisant partie de la progression par quotient, sinon exactement, du moins avec une approximation suffisante. Il faut donc prendre pour oL une valeur extrêmement petite, afin que les termes croissent très-peu et que tout nombre entier qui n'en ferait pas partie puisse, avec une très-faible erreur, être remplacé par l'un des deux termes entre lesquels il est compris.

Pour arriver à ce point, on peut imaginer qu'on parte de deux progressions déterminées, et qu'on insère un même nombre de moyens considérable entre les termes de l'une et de l'autre. Mais, sans nous arrêter aux divers procédés dont on peut faire usage, admettons que a et ^ soient des quantités aussi près de zéro que l'on voudra, l'équation (2) exprimera toujours la relation entre un nombre quelconque