CHAPITRE XXXI

et son logarithme. Et si l'on veut atteindre, au moins par la pensée, sinon par le calcul effectif, à la représentation exacte des nombres entiers, il faut se figurer qu'on fait décroître « et ^ indéfiniment, et que tout nombre entier soit la limite des deux termes qui le comprendront, pour chaque système de valeurs de a et ^.

La relation à établir entre ces deux variables est évidemment arbitraire, et Neper a choisi la plus simple : il a pris d =^ a. L'équation (2), dans cette hypothèse, devient

et, pour avoir l'équation qui tend de plus en plus à exister entre les nombres et leurs logarithmes, il faut chercher la

limite de (i -}- a)*. Si on la désigne par e, on aura dans le système de Neper, considéré à la limite où tous les nombres croissant d'une manière continue se trouveraient représentés, et auraient des logarithmes croissant aussi d'une manière continue, on aura entre tout nombrey et son logarithme X l'équation exponentielle

Il reste donc, pour connaître la base e du système de

logarithmes de Neper, à déterminer la limite de la fonc-

tien (i -i- a)*, quand la variable a tend vers zéro; et c'est de cette recherche que nous allons nous occuper.

249. Nous préviendrons d'abord une erreur très-grave, que l'on serait peut-être porté à commettre dans la recherche des limites de fonctions. On pourrait croire qu'il serait permis de partager la difficulté en cherchant d'abord la limite qu'elle aurait si l'on conservait une valeur constante à la variable dans certaines parties de l'expression,

et cherchant ensuite la limite correspondant à la variation dans les parties restées d'abord constantes. Il n'est pas besoin de montrer par des exemples l'inexactitude d'un pareil procédé : il suffit de remarquer qu'on n'exécute pas ainsi ce qui est demandé, puisque la variable doit avoir la même valeur dans toutes les parties de l'expression; et dès lors on ne peut être sûr que le résultat n'en sera point altéré. Ce serait une chose à démontrer, quand cela est ; et il y a beaucoup de cas où cela n'est pas.

Dans la question actuelle, par exemple, on serait conduit

à un résultat inexact, en laissant l'exposant ~ constant, et

faisant tendre ol vers zéro dans (i-}-a). En faisant ainsi,

et élevant à la puissance - la limite de i -f- a, ou i , on au- ^ a

rait I*. Or toute puissance de i étant i, 1" resterait toujours égal à l'unité quand on ferait tendre a vers zéro, et

la limite de (i -i-a)* ainsi cherchée serait l'unité, ce qui est, comme nous allons le voir, contraire à la vérité.

250. Pour trouver la limite de (i H-»)*, nous supposons d'abord (comme le fait M. Gauchy dans son Cours d^ Analyse algébrique) que la variable a, qui a pour limite zéro, soit égale à l'unité divisée par un nombre entier m, indéfiniment croissant ; et l'expression en question deviendra

Or, m étant un nombre entier positif, on pourra développer cette puissance d'après la formule du binôme, et l'on aura

ou