II

On reconnaît déjà cette propriété remarquable de l'expression ( I H ) , c'est qu'elle augmente constamment

avec m. En effet, tous les termes du développement sont positifs ; un terme de rang déterminé quelconque augmente avec m, puisque son dénominateur est constant et que les facteurs de son numérateur augmentent ; et enfin il s'introduit de nouveaux termes, puisque leur nombre est zw-h i . On remarquera ensuite que tous ces termes sont inférieurs à ceux de la série suivante, qui en sont les limites respectives,

On reconnaît facilement, par la règle établie ci-dessus, que cette série est très-rapidement convergente, et que sa limite est comprise entre 2 et 3. Mais il s'agit de démontrer

que cette limite est celle de ( i H ] •

En effet, supposons m assez grand pour que les n premiers termes de (4) soient assez voisins des correspondants de (5) pour que les deux sommes diffèrent aussi peu qu'oh voudra. La seconde de ces deux sommes différant de la limite de (5) d'une quantité qui peut être supposée moindre que toute quantité désignée, il en sera donc de

même de la première, et à plus forte raison de ( i -h - j »

qui, étant plus grand, est plus rapproché encore de la limite de (5), qui lui est toujours supérieure. La différence entre

( I -1 j et la limite de (5), qui est une quantité fixe,

pouvant devenir et rester moindre que toute quantité donnée, l'expression I i H ] a donc pour limite celle de la

série (o).

Ce résultat remarquable est dû à Euler.