Limite de -^ — quand x croît indéfiniment
Si l'on appelle a la base du système dans lequel on considère le logarithme de a:, on aura, en le désignant par^,
x^av
et -^=^.
11 y a deux cas
à distinguer, suivant que 1
on
ou a <^\.
Soit d'abord
X elj croissent ensemble indéfiniment; et, d'après la proposition précédente, — - tendra vers zéro, et par suite aussi — — •
Si l'on a
fl< I,
il faut, pour que x croisse indéfiniment, que j^ soit négatif, et que sa valeur absolue croisse indéfiniment. Posant
b sera plus grand que i et z sera positif et croîtra indéfiniment. On aura alors
logjc z z
dont la limite sera encore zéro.
On voit donc que, quelle que soit la base du système, la
limite de — ^— sera zéro, quand x croîtra indéfiniment.
259. Limite de x^ quand x croit indéfiniment. — La forme singulière de cette limite serait oo°, d'après les notations insignifiantes employées souvent dans l'Algèbre, et que nous ne mentionnons que pour qu'elles ne surprennent pas quand on les rencontrera. Disons une fois pour toutes qu'elles ne doivent être regardées que comme une manière abrégée d'écrire, qu'on a à chercher la limite d'une puissance dont le degré tend vers zéro, d'une quantité qui croît indéfiniment. Mais sous ce point de vue encore elle est défectueuse, puisqu'elle n'apprend rien sur la dépendance de cette quantité et de son exposant, et que cette dépendance est un élément essentiel de la question.
