CHAPITRE XXXII

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES DES FONCTIONS (i -h^

ET log(i -i-jc).

261 . La puissance ni^'^"^^ d'un binôme quelconque a-h z se ramène immédiatement à celle de i -hx, en posant

z =r ax, d'où résulte

Il suffît donc, pour connaître le développement en série d'une puissance de degré quelconque d'un binôme, de le déterminer dans le cas où le premier terme est l'unité, ce qui introduit quelques simplifications.

Lorsque m est entier et positif, on a

Cette formule a été étendue par Newton au cas où m est quelconque, sans démonstration rigoureuse. Euler en a donné une très-ingénieuse, qui laissait encore du côté de la rigueur quelques lacunes qu'il a été facile de combler.

Euler, au lieu de chercher à développer (i 4-x)"S part au contraire de la série

min? — i] -

dans laquelle il suppose m et x quelconques, et se propose de déterminer la fonction de a: et de m qui exprime la limite de sa somme.