CHAPITRE XXXII

Mais d'abord il faut s'assurer s'il y a une limite. Or le rapport d'un terme au précédent étant exprimé générale-

ment par x, dont la limite est — x quand n croit indéfiniment, la série serait divergente si x était plus grand que l'unité en valeur absolue. Il faut donc se borner à chercher la valeur de la série quand m est quelconque, et X plus petit que l'unité en valeur absolue. Désignons par <p(w) cette limite, c'est-à-dire posons

arP-i- ...■

cette fonction <p(/7^) renferme bien x, mais nous ne le mettons pas en évidence, parce que nous ne nous proposons de faire varier que m.

Donnant à m une autre valeur différente quelconque «, on aura

Gela posé, Euler multiplie les deux séries, et observe que les réductions se feront de la même manière, quels que soient iiiein] et comme dans le cas de m et n entiers et positifs les séries représentent (i -f-a:)''*et(i -{-xY et leur produit, [i-\-x]"^'^'^y les coefficients des différentes puissances de X dans ce produit renfermeront {in -{- n) de la même manière que (i) et (2) renferment m et tz. D'où il conclut que la forme du produit sera cf' (m -h «), quels que soient met n.

Ce raisonnement est insuffisant, mais il a conduit Euler à une conséquence juste, exprimée par l'équation

Mais il est facile de la démontrer rigoureusement. En effet, si des séries (i), (2) on en déduit une troisième, comme il a été dit (Ghap. XXX, n° 246), le terme enxP y aura pour coefficient l'expression

et l'on sait que, quels que soient m et /z, cette somme est égale à

c'est-à-dire au coefficient du terme exixP àe[i), dans lequel on change ni en m -h n.

En effet, quand m et n désignent des nombres entiers plus grands que/?, cette somme n'est autre chose qu'une décomposition du nombre exact des combinaisons que m-\-n objets peuvent donner en les prenant/; à/?. Cette égalité étant ainsi démontrée, pour toutes les valeurs entières de m et n qui surpassent le nombre /?, il s'ensuit (Ghap. XVÏI) que ces deux fonctions entières de /w et tz sont identiques, c'est-à-dire composées des mêmes termes en m et n, quels que soient m, n et p.

La troisième série n'est donc autre chose que o[m.-\-n). Mais comme on a démontré (n° 234) que par le procédé qui l'a produit on doit trouver '^{ni) ^{n), on en conclut rigoureusement l'équation (3).

De cette équation Euler a déduit, comme nous l'avons fait (Ghap. XXIX), k désignant un nombre entier positif quelconque,

(4) f{my'-=z'f{Am).

Gela posé, si m est une fraction positive quelconque ->