CHAPITRE PREMIER. 3l I

prendre chaque démonstration, on n'aura besoin d'avoir recours qu'à ce que l'on sait déjà. Et ce que nous disons là de l'exposition d'une science à partir des premiers principes doit s'entendre de toute théorie composée de propositions dépendant les unes des autres, et fondée sur les éléments admis généralement, et qu'il n'est plus nécessaire de discuter.

268. Dans quelques-unes des propositions que nous venons d'énoncer, on a à démontrer l'égalité de deux lignes droites. Cette question se présente très-fréquemment, soit comme but, soit comme intermédiaire. Le moyen qu'on emploie le plus ordinairement à cet effet consiste à faire en sorte que ces lignes soient des côtés de triangles dont on peut démontrer l'égalité, indépendamment des côtés en question, et d'après les données immédiates ou leurs conséquences. Aussi les conditions d'égalité des triangles font partie des premières questions dont on s'occupe après l'établissement des axiomes. La superposition, qui est le moyen général de s'assurer de l'égalité des quantités géométriques, fait reconnaître immédiatement que deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux ; ou encore quand ils ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux. Il est un troisième cas d'égalité qui ne peut se démontrer par la superposition immédiate : c'est celui où les deux triangles ont les trois côtés respectivement égaux. On ne peut alors faire coïncider qu'un seul côté avec son homologue ; et comme on n'a pas de donnée sur les angles, la direction des autres côtés reste incertaine, et la possibilité de leur superposition n'est pas établie. On est obligé de recourir à d'autres propositions intermédiaires, et d'arriver par un détour à la démonstration de ce troisième cas, qui n'est pas d'une moindre utilité que les deux autres. Ces intermédiaires,

3 12 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

inattaquables dans la Géométrie d'Euclide, sont différents dans la plupart des Traités modernes, où l'on définit la ligne droite le plus court chemin d'un point à un autre.

Nous avons donné les raisons pour lesquelles nous ne regardions pas cette définition comme acceptable ; et nous rejetons, par conséquent, toute démonstration fondée sur elle. Les Traités dont nous venons de parler sont donc, à notre avis, entièrement défectueux.

Mais cette importante propriété de la ligne droite, n'étant pas prise par Euclide comme définition, a dû être démontrée ou acceptée comme axiome. Heureusement ce grand géomètre n'a pas été obligé de la placer dans cette dernière catégorie, et il l'a déduite de propositions fondées sur les notions premières dont nous avons parlé précédemment.

L'importance qu'il y a à établir clairement et sans réticence les premières vérités déduites des axiomes, et à ne laisser aucune obscurité à l'entrée de la science, nous engage à faire connaître avec quelque détail l'ordre et l'enchaînement des propositions par lesquelles commencent les Eléments d' Euclide, et ceux qui paraissent les avoir remplacés chez nous, je veux dire les Eléments de Legendre.

PREMIERS THÉORÈMES DANS LES ÉLÉMENTS d'eUCLIDE.

269. Deux triangles sont égaux, quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun .

La démonstration se fait immédiatement par la superposition.

270. Dans les triangles isoscèles, les angles à la base sont égaux, et, si on prolonge les côtés égaux, les angles sous la base seront aussi égaux.