CHAPITRE PREMIER. 3l

Soient AB, AG les deux côtés égaux du triangle ABC; BD, CE leurs prolongements {Jig- i). Prenant BF = GH, les deux triangles AGF, ABH seront égaux, comme ayant un angle égal A compris entre côtés égaux chacun à chacun ;

donc BH=GF, et les angles H et F seront aussi égaux. Il en résulte que les triangles BGH, BGF seront égaux, comme ayant un angle égal compris entre côtés respectivement égaux; et, par conséquent, les angles BGF, GBH le seront, ainsi que BGH, GBF. Gette dernière égalité prouve la seconde partie du théorème énoncé; et la précédente en prouve la première, parce que, les deux angles égaux qu'on y considère étant retranchés respectivement des deux angles AGF, ABH qui sont égaux comme homologues dans les triangles égaux AGF, ABH, les restes ABG, AGB, qui sont les angles à la base du triangle ABG, seront égaux.

Telle est la démonstration d'Euclide. On s'étonnera peut-être que de l'égalité des angles de la base avec les prolongements des côtés il n'ait pas conclu l'égalité des angles adjacents, qui sont ceux du triangle. Gela tient à ce qu'il a placé un peu plus loin les considérations relatives aux angles adjacents formés par des droites qui se rencontrent; au reste, sa démonstration n'en est pas beaucoup allongée.

Mais on peut faire une remarque plus importante sur cette démonstration. Euclide n'aurait eu besoin d'aucune construction, si, au lieu des points F, H, il avait simplement

3l4 SCIENCE DE l'étendue.

considéré B et G. Les deux triangles dont il démontrait d'abord l'égalité auraient été ABC, ACB, c'est-à-dire le même triangle ; les angles homologues dont il concluait l'égalité, au lieu d'être ACF, ABH, auraient été ACB, ABC, c'est-àdire les angles mêmes du triangle. Quant aux angles formés par les prolongements, leur égalité résulte de celle de leurs adjacents, comme on le reconnaît immédiatement par la superposition des figures, et je pense qu'Euclide aurait pu placer cette dernière proposition dès le commencement.

271. Si deux angles d'un triangle sont égaux entre eux, les côtés opposés à ces angles seront égaux.

Euclide emploie ici la réduction à l'absurde. Si les deux côtés AB, AG, opposés aux angles égaux B et G du triangle ABG {fig- 2), ne sont pas égaux, l'un sera plus grand que l'autre. Soit AB le plus grand ; prenant BD=AG,

les deux triangles DBG, AGB auront un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun : car l'angle B du premier est compris entre les deux côtés BD, BG, qui sont respectivement égaux aux côtés GA, GB qui comprennent l'angle égal AGB dans le second. Ges deux triangles devraient donc être égaux, ce qui est absurde, puisque l'un fait partie de l'autre : la supposition d'où l'on est parti est donc fausse, et, par conséquent, les côtés AB, AG sont égaux.

Nous ferons ici la même remarque que pour la démons-