CHAPITRE PREMIER. 3l

Iration précédente. Il eût été beaucoup plus simple de considérer encore le triangle ABC sous deux aspects différents : 1° comme ayant le côté BG adjacent aux deux angles B, G^ 1^ comme ayant le côté égal GB adjacent aux angles G, B respectivement égaux à B, G. Détachant par la pensée le triangle AGB, on le fera coïncider avec ABG, en appliquant son côté GB sur l'égal BG, et alors le côté GA coïncidera avec BA; ils sont donc égaux.

Mais cette démonstration suppose la proposition que deux triangles sont superposables, quand ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun; et Euclide l'a reportée plus loin, quand il était si facile de l'établir immédiatement, comme l'a fait Legendre, Il ne faut pas méconnaître, cependant, qu'il a eu un motif pour placer ce théorème après quelques autres ; il lui a donné une plus grande extension, en considérant deux cas : celui où le côté égal est adjacent aux deux angles égaux, comme nous l'avons supposé, et celui où il est opposé à l'un de ces angles ; et ce dernier ne pouvait se démontrer par une simple superposition.

272. Deux points étant donnés sur une droite j il ne peut exister d'un même coté de cette droite deux points qui, joints aux deux premiers, donnent des longueurs respectivement égales.

Euclide emploie encore ici la méthode de réduction à l'absurde. Il suppose qu'il existe deux points dont les distances aux deux autres soient respectivement égales, et discute la question dans les deux conditions où ils peuvent se trouver d'un même côté de la droite donnée. Les triangles isoscèles auxquels cette hypothèse donne naissance donneraient lieu à des égalités d'angles qui amènent facilement à des absurdités; d'où il conclut l'absurdité de l'hypothèse.

3l6 SCIENCE DE L*ÉTENDUE.

Cette proposition le conduit immédiatement à la suivante, qui constitue le troisième cas d'égalité des triangles.

273. Deux triangles sont égaux, quand ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

274. Lorsque deux droites se coupent, la somme des angles adjacents est égale à deux droits, et réciproquement : les angles opposés sont égaux,

Euclide n'a pas cru devoir démontrer que tous les angles droits sont égaux. Il a regardé sans doute comme évident qu'en un point d'une ligne située dans un plan donné, on n'en peut mener qu'une seule dans ce même plan, qui fasse des angles égaux avec les deux côtés de cette ligne ; ou, en d'autres termes, que, dans un plan donné, on ne peut concevoir qu'une seule perpendiculaire à une droite en un de ses points. Si maintenant on considère deux droites différentes, et sur chacune une perpendiculaire, les angles droits formés par les deux premières seront évidemment les mêmes que ceux que forment les deux autres ; car si l'on fait coïncider le point de rencontre de celles-ci avec le point de rencontre des premières, qu'ensuite on applique l'une sur l'autre les deux droites sur lesquelles sont élevées les perpendiculaires, ces dernières se confondront, puisqu'on ne peut, sur une même droite, élever qu'une seule perpendiculaire en un point donné : les angles droits de l'un des systèmes sont donc égaux à ceux de l'autre. Ces raisons, développées dans certains Traités avec un peu de prolixité, Euclide n'a pas jugé nécessaire de les mentionner, et il a admis comme évidente l'égalité de tous les angles formés par des droites perpendiculaires.

275. Si Von prolonge un côté d'un triangle, V angle extérieur sera plus grand que chacun des ultérieurs opposés.