CHAPITRE PREMIER

Soit le triangle ABC [fig. 3), CD le prolongement de BG ; joignons le point B au milieu E de AC, et prolongeons BE de EF égal à BE; les triangles GEF, ABE seront égaux,

Fig. 3.

comme ayant un angle égal en E compris entre côtés respectivement égaux ; les angles A et ACF seront donc égaux : mais ce dernier est plus petit que AGD, puisque le point F est dans l'angle AGD, vu que la ligne BE, prolongée indéfiniment, ne peut venir recouper la droite BD, avec laquelle elle a déjà un point commun B : donc l'angle intérieur A, opposé au côté prolongé, est aussi plus petit que l'angle extérieur AGD : ce qu'il fallait prouver.

Quant au second angle ABG, qui est adjacent à la base, on fera une démonstration semblable, en prolongeant le côté AG, auquel il est opposé, et considérant l'angle extérieur BGH; l'angle ABG sera donc plus petit que BGH, et, par conséquent, que AGD, qui lui est égal comme opposé au sommet.

276. Dans tout triangle, la somme de deux angles quelcom/ues est moindre que deux droits.

Soient les deux angles B, G du triangle ABG [fig. 4);

Fie- h-

D li C

prolongeons GB, les deux angles adjacents ABD et ABG ont

3l8 SCIENCE DE l'étendue.

pour somme deux droits, mais l'extérieur ABD est plus grand que G ; donc la somme des deux angles B et G du triangle est moindre que deux droits.

277. Si deux côtés d'un triangle sont inégaux, l'angle opposé au plus grand sera le plus grand.

Soit AG > AB [fig. 5 ) ; prenons AD r=^ AB, le triangle ABD sera isoscèle, et, par conséquent, les angles ABD,

ADB seront égaux. Mais l'angle ABG est plus grand que ABD ; et ADB, comme extérieur au triangle BDG, est plus grand que G : donc, à plus forte raison, on a ABG '^ G. Ge qu'il fallait démontrer.

278. Si deux angles d'un triangle sont inégaux, le côté opposé au plus grand sera le plus grand.

Euclide emploie encore ici la méthode de réduction à l'absurde, et suppose que la contradictoire de la proposition énoncée soit vraie, c'est-à-dire que le côté opposé au plus grand des deux angles n'est pas plus grand que l'autre. 11 y aura alors deux cas possibles : ou il sera plus petit que cet autre, ou il lui sera égal. Or, s'il était plus petit, l'angle opposé serait le plus petit des deux, d'après la proposition précédente, et cela est contraire à l'hypothèse. S'il était égal, les deux angles seraient égaux, ce qui est encore contraire à l'hypothèse. Donc, si la contradictoire était vraie, elle conduirait nécessairement à des conséquences fausses; donc elle n'est pas vraie, et, par conséquent, la proposée l'est.

Nous donnons avec quelque détail cette démonstration bien facile, pour mettre en évidence la méthode générale dont elle est une application.

279. Dans tout triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Soient le triangle ABC [fig- 6); BC l'un quelconque de ses côtés; prolongeons BA de AD = AG; le triangle CAD

Fig. 6.

sera isoscèle, et les angles D et AGD seront égaux; il en résultera BCD^D, et, par conséquent, dans le triangle BCD, le côté BD sera plus grand que BG, comme étant opposé à un plus grand angle. Mais BD =:: BA + AG. Donc la somme des deux côtés BA, AG du triangle ABG est plus grande (jue le troisième : ce qu'on se proposait de démontrer.

280. Corollaire. — Il résulte de là qu'une ligne droite est plus courte que toute ligne brisée ayant les mêmes extrémités. Soient, en effet [fig- 7), la droite AB et la ligne brisée AEDGB. Menons les diagonales AG, AD . D'après ce

Fig. 7.

qui vient d'être démontré, AB sera plus petit que BG H- VG • AG sera plus petit que DG-j-AD, et AD plus petit que ED-l-EA. Donc AB sera plus petit que BG4- GD-t-DE-f- EA.

320 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

Donc la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre, en ne considérant toutefois que des routes composées de lignes droites en nombre quelconque. Cette proposition se généralisera plus tard, lorsque nous parlerons des lignes courbes.

281. Autre corollaire. — Il résulte de là que, si d'un point A à un point B [fig- 8 ), on conçoit dans un même plan une ligne brisée AGDEFB, composée d'un nombre quel-

Fig. 8.

conque de côtés rectilignes, tel qu'un quelconque d'entre eux prolongé ne pénètre pas dans l'intérieur du polygone fermé par AB, la somme des côtés composant cette ligne brisée sera moindre que celle des côtés de la ligne brisée AMNPQRB, terminée aux mêmes extrémités A, B, et située complètement en dehors du polygone ACDEFB, qui se trouve enveloppé.

Nous n'en rapporterons pas la démonstration, qui découle naturellement de la proposition précédente.

282. Si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, et que l'angle compris entre les premiers soit plus grand que celui qui est compiHs par les seconds, le troisième côté du premier sera plus grand que le troisième côté du second: et réciproquement.

283. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun et un côté égal adjacent à ces deux angles, ou opposé à un angle égal.

CnAIMTKE PREMIER. 3^.1

284. Si une droite tombant sur deux autres droites fait des angles alternes égaux, ces deux droites seront parallèles .

Soient les deux droites AB, CD, et une troisième EF faisant avec elles les angles égaux AEF, EFD [fig. 9). Si AB et CD se rencontraient, par exemple, en Z, l'angle AEF,

extérieur au triangle EFZ, devrait être plus grand que l'angle intérieur EFZ; ce qui serait contre l'hypothèse. Les deux droites ne peuvent donc se rencontrer, et, comme elles sont supposées dans le même plan, elles sont parallèles. On pourrait énoncer d'une autre manière les données de cette question, et dire que : lorsque la somme des angles intérieurs d'un même côté est égale à deux droits, les lignes sont parallèles.

285. Postulat um d'Euclide. — Nous venons de démontrer que, lorsqu'une droite tombant sur deux autres dans un même plan fait d'un même côté la somme des angles intérieurs égale à deux droits, les deux lignes sont parallèles. Or Euclide demande qu'on accorde comme évident que, si cette somme est différente de deux droits, les deux lignes se rencontrent, du côté où elle est moindre.

On voit que c'est comme si l'on admettait que, par un point, on ne peut mener qu'une seule droite parallèle à une droite donnée. C'est en cela que consiste réellement ce célèbre postulatuin.

283. Une droite qui rencontre deux parallèles fait avec elles des angles intérieurs dont la somme est égale à

D. - Se, de rais., i*" l'art. 2 I

322 SCIENCE DE l'ÉÏENDUE.

deux droits; ou, en d'autres termes, les angles alternes sont égaux.

En effet, si cette somme était différente de deux droits, les lignes se rencontreraient, d'après le postulatum. Or c'est contre l'hypothèse. Donc elle n'est pas différente de deux droits.

287. La somme des trois angles de tout triangle est égale à deux droits.

Soit un triangle quelconque ABC [fig- lo) ; prolongeons un de ses côtés BG, et menons dans l'angle AGD, qui est

plus grand que A, une ligne CE faisant un angle AGE égal à A; elle sera parallèle à BA, d'après une proposition précédente. Donc les angles EGD, ABG seront égaux. Ge qui prouve d'abord que l'angle extérieur est toujours égal à la somme des deux intérieurs opposés; en second lieu, en ajoutant le troisième angle AGB, la somme des trois angles du triangle sera égale à AGD -h AGB ou à deux angles droits. c. q. f. d.

Gette proposition conduit immédiatement à la somme des angles d'un polygone, en le décomposant en triangles.

288. Dans tout parallélogramme les côtés opposés sont égaux, les angles opposés sont égaux; les diagonales le partagent chacune en deux triangles égaux, et se partagent mutuellement en deux parties égales.

289. Les parallélogrammes cojistruits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles sojit équivalents.