CHAPITRE PREMIER

Et les triangles seront aussi équi^^alents dans les mêmes conditions, parce qu'ils seront les moitiés de parallélogrammes équivalents.

Telles sont les principales propositions qui composent le premier Livre d'Euclide. On peut dire de la plupart d'entre elles qu'on en sent l'exactitude aussitôt qu'elles sont énoncées, et qu'elles ont dû se présenter d'elles-mêmes à ceux qui se sont occupés de figures tracées sur un plan. Mais la démonstration rigoureuse était nécessaire, et, sous ce rapport, le livre des Eléments ne laisse rien à désirer. Il a servi de modèle à tous ceux qui ont écrit sur celte matière, et sera toujours considéré comme un des plus beaux monuments de l'antiquité.

Comparons-le maintenant à l'Ouvrage qui, depuis près d'un siècle, est la base de l'enseignement de la Géométrie en France ; et voyons si, sous le rapport des notions premières et de leurs conséquences immédiates, il y a eu progrès d'Euclide à Legendre.

DES PREMlilRES PROPOSITIOJÎS DE LA GÉOMÉTRIE DE LEGENDRE.

290. Legendre définit la ligne droite le plus court chemin d'un point à un autre. Il admet qu'on n'en peut mener qu'une seule entre deux points donnés, mais il laisse incertain si elle peut avoir plusieurs prolongements ; d'autres auteurs estimés admettent l'idée plus complète, que par les deux mêmes points il ne peut passer qu'une seule ligne droite indéfinie.

Nous ne reproduirons pas les raisons qui nous ont fait rejeter cette définition, et nous devons, en conséquence, regarder les principes de la Géométrie comme mal établis par Legendre.

324 SCIENCE DE l'ÉÏENDUE.

L'ordre et la démonstration des premiers théorèmes ne sont pas les mêmes que dans Euclide, qui ne pouvait admettre sans le prouver qu'un côté d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres. Cette proposition, qui est pour Legendre une conséquence de sa définition de la ligne droite, lui permet de donner un autre tour aux démonstrations, sans qu'il en résulte cependant aucune réelle simplification.

La première chose qu'il cherche à démontrer, et qu'Euclide admettait comme évidente, est l'égalité de tous les angles droits. Les raisonnements y sont un peu embarrassés et sont suivis avec quelque peine par les élèves, auxquels ces formes ne sont pas encore familières ; mais on peut y faire un reproche plus sérieux, et les premières vérités doivent être établies avec tant de rigueur et de clarté, que nous ne croyons pas pouvoir nous dispenser d'en faire sentir le défaut.

Il considère deux droites CD, GH, respectivement perpendiculaires sur les lignes LM, L'M' {fig. ii et la), et il se propose de démontrer que les angles droits formés en G sont égaux à ceux dont le sommet est en G. Pour cela, dit-il, prenez les quatre distances égales GA, GB, GE, GF;

Y'm. n et 12.

la distance AB sera égale à la distance EF, et l'on pourra placer la ligne EF sur AB, de manière que le point E tombe en A et le point F en B. Ges deux lignes ainsi posées coïncideront complètement l'une avec l'autre ; car, sans cela, il y aurait deux lignes droites de A en B, ce qui