CHAPITRE PREMIER

est impossible : donc le point G, milieu de EF, tombera sur le point G, milieu de AB.

Il semble, au premier abord, qu'il n'y ait aucune difficulté à faire à ces constructions et aux conséquences qui en ont été tirées ; mais, avec un peu de réflexion, on reconnaîtra que celui qui n'admet pas qu'une droite ne puisse avoir qu'un seul prolongement indéfini ne pourrait admettre les coïncidences telles qu'elles viennent d'être indiquées.

En effet, il prend quatre longueurs égales, c'est-à-dire quatre longueurs qui pourraient coïncider deux à deux. Gela étant accepté, AG et EG peuvent bien être appliquées l'une sur l'autre, mais alors il reste douteux si le prolongement GF de EG coïncidera avec le prolongement GB de AG : dès lors, rien ne prouve que le point F coïncidera avec B, et la démonstration ne subsiste plus.

291. La seconde proposition consiste en ce que toute droite qui en rencontre une autre fait avec elle deux angles adjacents dont la somme est égale à deux angles droits. Elle est suivie de quelques corollaires sans difficulté.

292. La troisième proposition consiste en ce que deux droites indéfinies dans les deux sens, qui ont deux points communs, coïncident dans toute leur étendue.

Nous avons dit précédemment que Legendre admet bien que, d'un point à un autre, on ne peut mener qu'une ligne droite, mais non que des droites qui coïncident dans une certaine étendue ne puissent pas se séparer au delà. Il peut paraître étrange qu'il n'ait pas admis comme aussi évidente la coïncidence au delà qu'en deçà des deux points communs. Mais le désir de demander le moins de concessions possible ne fait-il pas naître des embarras d'un autre genre? Il admet la notion du plan, et il suppose que toutes les lignes qu'il trace soient dans un même plan. Il a défini

320 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

le plan : une surface telle, que si l'on joint deux de ses points par une ligne droite, et qu'on la prolonge indéfiniment dans les deux sens, tous ses points seront sur cette surface : et c'est sur cette définition qu'il se fonde au commencement de son cinquième Livre, pour prouver qu'une droite ne peut être en partie dans un plan et en partie en dehors.

Or, si l'idée qu'on a de la ligne droite autorise à penser que des droites qui ont deux points communs ne coïncident pas au delà de ces points, comment se figurer une surface telle, qu'en y prenant deux points quelconques, et faisant passer par ces points une droite pouvant donner lieu à un nombre indéfini de prolongements, tous ces prolongements seraient sur cette même surface, n'importe où l'on prendrait sur elle ces deux points. Personne n'accepterait la notion d'une surface d'après une telle définition ; et si on ne la repousse pas, c'est qu'on admet auparavant que, par deux points donnés, il ne peut passer deux droites indéfinies différentes. Or la démonstration que Legendre cherche à donner de cette proposition suppose la notion du plan : il y aurait donc cercle vicieux.

Ces raisons nous font conclure que Legendre aurait mieux fait de donner plus d'extension à son postulatum, et d'admettre que deux lignes droites, qui ont deux points communs, coïncident non-seulement entre ces deux points, mais dans toute leur étendue.

293. Legendre a beaucoup varié son exposition de la théorie des parallèles, cherchant toujours à se passer du postulatwn d'Euclide. Mais ces différentes tentatives ont été sans succès; et, jusqu'ici, on n'a rien trouvé de mieux que la théorie du géomètre grec.

Nous n'en dirons pas davantage sur les commencements de la Géométrie de Legendre; cela suffit, je pense,