Tous les angles droits sont égaux

Les angles droits sont ceux que forment deux droites perpendiculaires Tune sur l'autre; et nous avons appelé ^erpendiculaires deux droites qui font deux angles adjacents égaux entre eux.

Dans un plan qui renferme une droite, on peut toujours concevoir en un point de cette droite une perpendiculaire, mais il ne peut en exister plusieurs ; car, en déplaçant la première autour du même point et dans le même plan, on augmenterait nécessairement l'un des angles primitifs et l'on diminuerait l'autre d'autant; toute autre droite que la première fait donc des angles adjacents inégaux, et, par conséquent, n'est pas perpendiculaire.

Il est facile de reconnaître maintenant que les angles droits que forment deux lignes perpendiculaires AB, CD

328 SC5ENCE DE l'éTENDUE.

sont égaux à ceux que forment deux autres perpendiculaires A'B', CD' ifig' i3 et i4). En effet, transportons le système de ces deux dernières de manière que le point G' coïncide avec G, et la droite indéfinie A'B' avec AB. Il suffira

Fi{;'. t3 et \l\.

pour cela, après avoir placé G' sur G, de placer un second point quelconque de A'B' sur la ligne AB. Gela fait, il est évident que G'D' s'appliquera sur la droite indéfinie GD, sans quoi il y aurait en G deux perpendiculaires à la même droite AB, ce qui est impossible. Les angles droits formés par les deux premières droites ne diffèrent donc pas de ceux que forment les deux secondes.

296. La somme des angles foi^més d'un même côté d'une droite indéfinie, par une ou plusieuj\s droites partant d'un même point de la prennere, est égale à deux angles droits.

Gela résulte immédiatement de la définition que nous avons donnée de somme d'angles. Nous avons dit que lorsque l'on plaçait à la suite les uns des autres, et dans le même sens, un nombre quelconque d'angles ayant leurs sommets au même point, les deux côtés extrêmes étaient dits faire un angle égal à la somme de tous les autres.

- D'après cela, puisque, d'après l'hypothèse de la question actuelle, les côtés extrêmes sont le prolongement l'un de l'autre, la somme de tous les angles, quel qu'en soit le nombre, est la même que s'il n'y en avait que deux, formés par la perpendiculaire à la droite indéfinie ; c'est-à-dire qu'elle est égale à deux angles droits.

CÎIAPITRE PREÎIIIEi:. SaC)

Lorsqu'il n'y a que deux angles, ils sont dits suppléments l'un de l'autre.

297. Réciproquement, si la somme des angles consécutifs est égale à deux droits^, les côtés extrêmes seront en ligne droite.

Car, s'ils n'y étaient pas, en prolongeant l'un des deux et prenant ce côté au lieu du second côté extrême, la somme des angles serait changée. Or elle serait égale à deux droits ; donc elle ne l'était pas d'abord, ce qui serait contraire à l'hypothèse. On ne peut donc admettre que les côtés extrêmes ne soient pas en ligne droite.

298. Lorsque deux droites indéfinies se rencontrent , les angles opposés sont égaux.

On appelle opposés les angles dont l'un est formé par les prolongements des côtés de l'autre ; et leur égalité résulte de ce qu'ils ont un même angle pour supplément.

299. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, ou un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.

C'est ce que la superposition fait immédiatement reconnaître.

300. Dans un triangle isoscèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

Soit le triangle ABC dans lequel AB=^AG \fig- i5); concevons ce triangle retourné de manière que ces deux côtés se trouvent placés en sens inverse : on aura un triangle AGB qui aura un angle égal à A compris entre les deux côtés AG, AB égaux chacun à chacun à AB et AG. Ils seront donc superposables et l'angle AGB coïncidera avec ABG; ce qui prouve que les deux angles du triangle ABC sont égaux.

33o SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

Les angles formés en dessous de la base par les prolongements des côtés AB, AG sont égaux comme suppléments d'angles égaux.

301. Si un triangle ABC a deux angles égaux B et C, les côtés opposés le seront aussi.

Cela se prouvera encore par la superposition du triangle ABC avec ce même triangle retourné.

302. Deux triangles sont égaux quand ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

Soient les deux triangles ABC, A^Btl' {fig. i5 et i6), dans lesquels on a

BCrrzB'C, AB=r:A'B', AC=:A'C'.

Transportons le triangle A'B'C sur l'autre, de manière que B'C coïncide avec BG; il faut démontrer que le point A'

ne peut tomber autre part qu'en A, c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir, d'un même côté de la ligne BG, deux points qui, joints aux deux mêmes points BG, donnent des longueurs égales chacune à chacune. Pour cela, supposons que A' ne tombe pas sur A, il sera dans l'un des quatre angles formés par les côtés AB, AG et leurs prolongements. Soit D ce point {fig- 17 et 1 8) ; joignons A et D par une droite.

Puisqu'on aura, d'après l'hypothèse,

AB = DB et AG — CD,