CHAPITRE PREMIER
les deux triangles BAD, GADserontisoscèles, et dans chacun d'eux les angles opposés aux côtés égaux seront égaux,
Fig. 17 et i8.
B ex
ainsi que leurs suppléments : on aura donc BAD = BDA et DAE = IDA.
Or ces deux égalités sont incompatibles, puisque l'on a
évidemment
BAD > DAE,
tandis que l'égal de BAD ou BDA est plus petit que IDA, qui est égal à DAE.
L'hypothèse d'où l'on est parti est donc fausse, et le point A' ne peut tomber qu'en A : ce qui prouve que les deux triangles ABC, A'B'C sont égaux.
303. Si l'on prolonge un côté d'un triangle, l'angle extérieur sera plus grand que chacun des angles intérieurs opposés.
Il faudrait reproduire ici la démonstration d'Euclide que nous avons fait connaître précédemment. Et il en serait de même des suivantes, que nous nous contenterons d'indiquer, mais que nous devons mentionner pour que l'enchaînement des propositions soit marqué :
301. Lasoimnede deux angles quelconques d' un triangle est moindre que deux droits.
332 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.
305. Si deux côtés d'un triangle sont inégaux, au plus grand sera opposé le plus grand angle.
306. Si deux angles d'un triajigle sont inégaux, au plus grand sera opposé le plus grand côté.
307. Dans tout triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.
Un corollaire immédiat de cette dernière proposition est que la ligne droite qui joint deux points est plus courte que toute ligne brisée terminée aux deux mêmes points.
Soient, en effet, les deux points A, B, la droite AB et
la ligne brisée BGDEA ifig. 19); on aura les inégalités suivantes :
AB < BG -h AC, AC < CD -h DA, DA < DE -i- EA ;
d'où résulte évidemment
AB < BC -f- CD ^- DE -h EA.
Ainsi la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre, en ne considérant que des routes composées de lignes droites, en nombre quelconque, et de grandeurs quelconques.
308. Et de là se conclurait cette autre proposition, que si d'un point A à un point B on conçoit dans un même plan une ligne brisée AGDEFB composée d'un nombre quelconque de côtés rectilignes tels, qu'un quelconque
Fis.
