CHAPITRE III

EXTENSION DE L'IDÉE DE NOMBRE. - RAISONS ET CONSÉQUENCE DE CETTE EXTENSION.

40. Nous avons attaché jusqu'ici au mot nombre la simple idée de pluralité, et les théorèmes que nous avons démontrés se rapportent exclusivement à cette notion. L'évaluation des grandeurs donne lieu le plus ordinairement à un nombre et à une fraction. Nous avons démontré quelques théorèmes sur les nombres, quelques autres sur les fractions. Nous avons donné le moyen d'exécuter sur les nombres les opérations les plus simples et de l'usage le plus ordinaire : quelques-unes d'entre elles se sont appliquées aux fractions; quelques autres n'auraient eu dans ce cas aucun sens d'après les définitions qui en avaient été données.

La distinction des nombres et des fractions a des inconvénients plus graves que cette dissymétrie dans les opérations; elle introduit dans les propositions générales une complication qu'il est utile de faire disparaître. Pour en citer un seul exemple, supposons qu'on veuille énoncer une règle pour déterminer la valeur d'une quantité quand on connaît le prix de l'unité ; on sera obligé de distinguer deux cas ; celui où l'évaluation de la quantité aura donné lieu à un nombre, et celui où elle aura donné lieu en outre à une fraction. Dans le premier cas, on dira qu'il faut multiplier par ce nombre le prix de l'unité ; dans le second, on dira qu'il faut d'abord multiplier ce prix par le nombre

des unités s'il y en a, et qu'ensuite il faut prendre une fraction du prix qui soit la même que la fraction d'unité que renferme la quantité proposée.

Ce que nous présente cet exemple se produit dans une multitude d'autres circonstances, où la distinction du nombre et de la fraction a obligé à plusieurs énoncés pour la réponse à des questions où la demande n'en avait cependant qu'un seul.

C'est cet inconvénient qu'on a voulu faire disparaître en donnant de l'extension à l'idée de nombre et en attachant ce nom au résultat de l'évaluation d'une grandeur, c'està-dire de la comparaison de cette grandeur avec une autre de même espèce, soit que ce résultat soit ce que nous avions d'abord appelé nombre, soit qu'il y ait en outre ou seulement une fraction de l'unité.

C'est là ce que dorénavant nous entendrons par un nombre, que l'usage veut encore qu'on appelle le rapport de la grandeur à l'unité, en prenant le mot rapport dans un sens restreint, que nous indiquons parce qu'il est usité dans les Mathématiques , quoiqu'on ait cherché à le remplacer par le mot quotient.

41. Cette nouvelle définition du nombre permettra de réunir en une seule plusieurs propositions qu'on était obligé d'énoncer séparément ; il y aura donc généralisation et par suite simplification dans la science. Mais il y aura cet autre avantage, que cette généralisation a été la conséquence d'analogies reconnues entre des choses qui se présentaient d'abord comme dissemblables; elle les rattache par un lien commun et constate un agrandissement dans les vues de l'esprit.

Mais ces avantages de la généralisation ne peuvent être acquis par la seule extension d'une définition; il est indispensable de reprendre toutes les propositions établies