MESURE DES SURFACES PLANES

328. L'égalité des surfaces a été définie comme celle de toutes les quantités géométriques. L'addition des surfaces planes se fait en les plaçant à la suite les unes des autres, sur le même plan, sans qu'elles se recouvrent en aucune partie, et l'idée que nous attachons à la grandeur de cette somme est indépendante de l'ordre dans lequel les

35o SCIENCE DE l'étendue.

parties sont placées, et des figures diverses qui peuvent en résulter. Toutes ces figures, composées de parties respectivement superposables, ne le sont pas elles-mêmes; elles n'ont ni le même périmètre ni les mêmes angles ; en un mot, elles ne sont pas égales, mais elles, seront dites de même grandeur en surface et s'appelleront équivalentes.

Si à des figures équivalentes on ajoute ou on retranche des surfaces équivalentes, n'importe dans quelle partie de leur étendue, les sommes ou restes seront encore dits équivalents. Enfin, si l'on partage deux figures équivalentes en un même nombre de parties équivalentes, les parties de l'une seront encore dites équivalentes à celles de l'autre. Et nous verrons bientôt comment toutes ces circonstances rentrent dans le point de vue unique de la décomposition en parties respectivement égales.

Mesurer une surface, c'est trouver son rapport à une autre surface prise pour unité. Mais ce problème est moins simple que pour les lignes droites et les angles, à cause de la difficulté de porter sur une surface quelconque des surfaces égales à celle d'une figure donnée ; aussi ne peut-il être résolu directement que dans des cas très-limités. C'est par ces cas que nous commencerons cette étude, et nous parviendrons à y ramener la mesure de toutes les figures planes terminées par des lignes droites, par des transformations successives fondées sur la considération de l'équivalence.

D'après la manière dont on procède pour l'évaluation de toute grandeur, il est nécessaire que l'unité puisse être' divisée en parties égales : on a choisi, à cet effet, le rectangle, et pour plus de simplicité on a pris sa hauteur égale à sa base. En subdivisant ces deux lignes en un même nombre de parties égales, et menant par les points de division des parallèles aux côtés, on subdivise le carré unité en carrés égaux, dont les surfaces pourront devenir