CHAPITRE II

aussi petites que l'on voudra par l'augmentation indéfinie du nombre des subdivisions.

Les surfaces les plus faciles à évaluer avec cette unité sont les rectangles, et c'est par là que nous allons commencer. La première proposition à établir à cet effet est la suivante :

329. Deux rectangles qui ont un côté égal sont dans le même j apport que les deux autres côtés,

La démonstration de ce théorème se fera comme dans le cas des angles et des arcs. Dans l'un des rectangles on considérera le côté non commun, que nous appellerons sa base, et on le partagera en un nombre quelconque de parties égales;, par tous les points de division on élèvera des perpendiculaires qui diviseront le rectangle en un même nombre de parties égales que la base. On prendra sur la base du second des parties égales aux subdivisions de la première, et l'on élèvera semblablement des perpendiculaires qui détermineront des rectangles égaux à ceux dans lesquels le premier a été décomposé et dont le nombre sera le même que celui des parties de la base.

Si les bases ont une mesure commune, on la prendra comme subdivision, et le nombre des rectangles égaux contenus exactement dans les deux rectangles étant le même que celui des subdivisions exactes des deux bases, le rapport des deux rectangles sera le même que le rapport de leurs bases, puisque ce sera le rapport des deux mêmes nombres.

Si les bases sont incommensurables, elles seront encore dans le même rapport que les rectangles, puisqu'il vient d'être démontré que, si l'on partageait la base et la surface de l'un en un nombre quelconque de parties égales, la base et la surface du second contiendraient le même nombre entier de ces subdivisions respectives.

352 SCIENCE DE l'éTENDLE.

330. Mesure de la surface d'un rectangle. — Si sur la hauteur de ce rectangle, que nous désignerons par A, on porte une longueur égale au côté du carré pris pour unité, et que par son extrémité on mène une parallèle à la base, on formera un rectangle B dont le rapport à l'unité de surface sera exprimé, d'après la proposition précédente, par le rapport, quel qu'il soit, de la base du rectangle au côté du carré ; rapport qui sera le nombre même qui mesurera cette base en prenant pour unité de longueur le côté du carré, ce que nous ferons constamment. Le rectangle B sera donc égal à l'unité de surface multipliée par ce nombre. Si maintenant nous comparons A à B, leur base étant la même, leur rapport sera égal à celui de leurs hauteurs, et sera par conséquent le nombre qui mesurera la hauteur du rectangle donné, en prenant encore pour unité le côté du carré. La surface de A s'obtiendra donc en multipliant par ce dernier nombre celui qui mesure B, qui est le même que celui qui mesure la base. D'où se déduit cette proposition générale : «Le rapport d'un rectangle quelconque au carré construit sur l'unité de longueur est égal au produit des deux nombres qui mesurent sa base et sa hauteur. »

C'est ce que l'on exprime d'une manière abrégée en disant :

Tout rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

331 . Deux parallélogrammes de même base et même hauteur sont équivalents.

On appelle hase d'un parallélogramme l'un quelconque de ses côtés, et hauteur correspondante la perpendiculaire comprise entre cette base et le côté parallèle. D'après cela, si l'on place les deux parallélogrammes de manière que les bases égales coïncident, les côtés opposés seront sur une même parallèle à ces bases. Soient ABGD, EBCF les deux