CHAPITRE II

lignes, les parties interceptées sur la seconde seront égales entre elles. De là résulte, par le procédé uniforme de démonstration employé ci-dessus pour les angles et pour les rectangles de même hauteur, que les parties de l'une des deux droites, comprises entre des parallèles quelconques, ont le même rapport que les parties correspondantes de l'autre, qu'il y ait ou non une mesure commune entre elles.

334. La similitude des figures planes se définit ordinairement par l'égalité des angles et la proportionnalité des côtés homologues : dans les triangles seulement une de ces conditions entraîne l'autre,

Lorsque l'on considère un système quelconque de points, séparés les uns des autres, ou réunis par des droites, on dit qu'un second système lui sera semblable, lorsqu'en joignant des points correspondants quelconques par des droites, leur rapport est toujours le même ; et, par suite, les polygones formés de part et d'autre en joignant des points homologues sont semblables. Lorsque ces conditions entre les deux systèmes ont lieu pour un assez grand nombre de points pour que le second système soit déterminé quand le premier le sera, ces mêmes conditions le seront pour tous les autres points ou lignes homologues. Ainsi, il y aura le même rapport entre les perpendiculaires abaissées de points homologues sur des lignes homologues, entre les tangentes menées de points homologues à des cercles décrits de points homologues comme centres, avec des rayons dans le même rapport, etc., etc.

333. Les triangles semblables sont des intermédiaires aussi fréquemment employés pour démontrer des proportions entre des lignes, que les triangles égaux le sont pour démontrer l'égalité de lignes ou d'angles. C'est par des triangles semblables qu'on démontre les proportions dépendant des sécantes ou tangentes menées d'un même point

356 SCIENCE DE L*ÉTENDUE

à un cercle donné; celles qui ont Heu entre les côtés d'un triangle rectangle, la perpendiculaire abaissée de son sommet sur l'hypoténuse, et les segments qu'elle y détermine, etc. Dans la résolution des problèmes, ils servent fréquemment d'intermédiaires pour ramener les constructions les unes aux autres.

336. La comparaison des figures semblables conduit à ce résultat remarquable, que leurs surfaces sont dans le même rapport que les carrés construits sur deux lignes homologues. Cette proposition se démontre d'abord pour les triangles, et s'étend facilement à des polygones semblables quelconques. La démonstration en est très-simple et facile à retenir quand on suit la marche analytique; elle offre, au contraire, quelque embarras aux élèves quand on affecte d'employer la marche synthétique, comme le fait toujours Legendre. Il ne sera peut-être pas inutile de prendre cet exemple si peu compliqué, pour montrer l'avantage de l'analyse sur la synthèse : on comprendra combien il serait plus grand dans le cas où le nombre des intermédiaires serait plus considérable.

Voici d'abord la démonstration littéralement copiée dans le Traité de ce célèbre géomètre.

Soit l'angle A = D et l'angle B r= E {fig. 27 et p.8 );

d'abord, à cause des angles égaux A et D, on aura, par la proposition précédente,

ABC : DEF :: ab x ac ; de x dF;