AC:DF:: AC:DF

il en résultera

ABX AC:DEXDF:: AC :D¥.

Donc

abc:def::Âc':df\

Dans cette démonstration, on évite en quelque sorte de faire prévoir l'utilité des diverses propositions par lesquelles on passe ; et ce n'est que quand on est arrivé au but qu'on en peut saisir la liaison. Les commençants ne l'apprennent et ne la retiennent que difficilement. Voici comment on aurait pu procéder par la méthode analytique. Pour démontrer que les deux triangles semblables ABC, DEF sont entre eux comme les carrés de deux côtés homologues, par exemple AB et DE, il suffit de démontrer que les mesures de ces triangles sont dans ce rapport ; ou que les produits de leurs bases par leurs hauteurs, qui sont les doubles de ces mesures, sont dans ce rapport. Soient CH, FI ces hauteurs; la démonstration du théorème en question est donc ramenée à celle de la proportion suivante :

ABX ch:dexei::Âb':dë\

qui, en supprimant les facteurs communs, soit aux antécédents, soit aux conséquents, devient

CH:Fi:: AB:DE.

Or cette proportion est vraie, puisque dans deux triangles

358 SCIENCE DE l'étendue.

semblables les hauteurs sont entre elles comme les côtés. Donc la proposition énoncée est vraie.

L'avantage de cette méthode est trop évident pour qu'il soit besoin de le faire ressortir.