Inscrire un cercle dans un triangle

La question est de déterminer le centre et le rayon d'un

cercle qui soit tangent aux trois côtés d'un triangle donné.

Comme on sait que la perpendiculaire abaissée du

362 SCIENCE DE l'étendue.

centre d'un cercle sur une quelconque de ses tangenles est égale au rayon, on voit de suite que le centre du cercle demandé doit être également distant des trois côtés du triangle ; que, par conséquent, la détermination de ce point est ramenée, et avec réciprocité, à un autre problème dont l'énoncé général serait :

Trouver un point é g alemejit distant de trois droites données.

Pour résoudre ce dernier problème, on se rappellera que tous les points de la bissectrice d'un angle sont également distants de ses deux côtés, et sont les seuls à jouir de cette propriété. Il suit de là que le point équidistant de trois droites, devant être équidistant de deux quelconques d'entre elles, doit être un de ceux de la bissectrice d'un quelconque des angles que ces droites forment deux à deux ; et dans le cas proposé, ces angles sont ceux qui appartiennent au triangle que forment ces trois droites. Le point cherché, s'il existe, doit donc se trouver sur les trois bissectrices ; et réciproquement, si ces bissectrices ont un point commun, il satisfera. Or deux de ces bissectrices suffisent, et leur point de rencontre sera sur la troisième. Le problème est donc ramené à partager des angles en deux parties égales; ce que l'on sait faire.

346. Décrire sur une droite donnée un segment capable d'un ajigle donné.

On sait que tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux entre eux, et à l'angle formé par la corde qui lui sert de base avec la tangente à l'une quelconque de ses extrémités. Cette base et la valeur de l'angle inscrit sont données ; il s'agit de décrire le cercle.

Or, d'après ce qui vient d'être rappelé, si le cercle cherché était construit, et qu'on lui menât une tangente à une des extrémités de la base, elle ferait avec cette base un