CHAPITRE III

angle égal à l'angle donné ; si donc on trace une droite faisant avec la base donnée, et à l'une de ses extrémités, un angle égal à l'angle donné, on aura une tangente au cercle cherché. Le problème est donc ramené au suivant:

Déterminer un cercle dont on cojinaît deux points et la tangente en un de ces points.

Et la réciprocité s'aperçoit facilement.

Pour résoudre celui-ci, il suffît de remarquer que la ligne qui joint le centre au point de contact étant perpendiculaire à la tangente, si l'on élève au point de contact donné une perpendiculaire à la tangente donnée, elle passera par le centre du cercle. On aura une seconde ligne passant par ce centre, en élevant une perpendiculaire au milieu de la droite qui joint les deux points donnés.

La détermination du centre est donc ramenée à des constructions qu'on sait exécuter, et, par conséquent, le problème proposé et résolu.

Par un point G, commun à deux cercles dont les centres sont A et B, mener une droite telle, que la partie comprise entre les deux cercles soit égale à une longueur donnée.

Soit MN la ligne qui résout la question {fg. 29).

Si des deux centres on abaisse des perpendiculaires

Fig. 29.

sur MN, elles seront parallèles et passeront par les milieux P, Q des cordes MC, NG. La distance PQ de ces deux

364 SCIENCE DE l'étendue.

parallèles sera donc égale à la moitié de la longueur don née, et par conséquent connue. Le problème est donc ramené au suivant :

Pa/' deux points donnés A, B, mener deux parallèles dont la distance mutuelle est donnée.

Et l'on reconnaît immédiatement que la réciprocité existe.

Pour résoudre celui-ci, on remarquera que si ces parallèles étaient tracées, et que de l'un de ces points, B par exemple, on leur menât une perpendiculaire, la partie comprise BR serait égale à la distance donnée, et par conséquent le triangle ARB serait rectangle, et on connaîtrait l'hypoténuse AB et un côté BR. Si l'on construisait ce triangle, on connaîtrait la direction AR; et, comme MN lui est perpendiculaire, il suffirait d'abaisser de G une perpendiculaire sur une droite donnée, ce que l'on sait faire. On voit donc que le second problème, et par conséquent le premier, se ramène à celui-ci :

Construire un triangle rectangle dont l'hypoténuse AB est donnée, ainsi que la longueur d'un second côté.

Pour résoudre ce nouveau problème, il suffit de remarquer que le sommet de l'angle droit de ce triangle ne peut être que sur le cercle décrit sur l'hypoténuse AB comme diamètre; on pourra décrire ce cercle, puisque son centre sera le milieu de AB, qu'on sait trouver. Et comme ce sommet doit se trouver à une distance connue de B, il suffira de décrire un cercle de B comme centre, avec cette distance pour rayon : le point où il rencontrera le premier sera le sommet cherché R, et la construction s'achèvera, comme nous l'avons dit, en joignant AR par une ligne indéfinie, et abaissant de G une perpendiculaire sur cette ligne.