CHAPITRE III

Soient A, B les centres des deux cercles, et pour fixer les idées supposons qu'ils soient entièrement extérieurs l'un à l'autre [fig- 3o).

Soient M, N les points de contact de la tangente commune, qui laisse les deux cercles d'un même côté. Les

rayons AM, BN, perpendiculaires à une même droite, seront parallèles; et si l'on mène BP parallèle à MN, le triangle ABP sera rectangle en P, et l'on en connaîtra l'hypoténuse AB et le côté AP qui est égal à la différence des rayons des deux cercles.

Et réciproquement, si l'on construisait un triangle sous ces conditions, AP prolongé ferait connaître sur le cercle A un point M tel, qu'en y menant la tangente à ce cercle, elle serait tangente à l'autre. Le problème est donc encore ramené à la construction d'un triangle rectangle, dont on connaît l'hypoténuse et un autre côté, ce que l'on sait faire.

Si l'on voulait que la tangente passât entre les deux cercles, on aurait semblablement à construire un triangle rectangle dont l'hypoténuse serait AB, et un autre côté la somme au lieu de la différence des rayons.

Il est inutile de faire remarquer qu'il y a deux autres tangentes communes, symétriques des deux premières par rapport à la ligne des centres.

348. Construire un carré, connaisscuit la différence de la diagonale au côté.

Soient ABCD ce carré, AE la différence donnée [fig. 3i); CE sera égal au côté, et le triangle GEB sera isoscèle. Mais si l'on prolonge BE jusqu'à sa rencontre en F avec le côté AD, les angles du triangle AEF seront respectivement

Fig. 3r.

égaux à ceux du triangle GEB ; 'ce triangle AEF sera donc isoscèle, et l'on aura AF = AE.

On peut donc connaître le point F du carré cherché, d'où résultera la construction même de ce carré.

En effet, ayant tracé la ligne AE égale à la différence donnée, on mènera deux lignes indéfinies AM, AN, faisant avec AE des angles égaux à la moitié d'un droit : sur AN on prendra AF = AE; on mènera la droite indéfinie FE, et le point B où elle rencontrera AM donnera le côté AB du carré, qu'on achèvera en menant BG perpendiculaire sur AB, et GD sur AN.

Mais, comme nous avons omis de démontrer la réciprocité, il faut actuellement prouver que la figure construite d'après la condition AF = AE satisfait aux conditions proposées. D'abord cette figure est un carré, puisque l'angle AB a été pris égal à un demi-droit; de plus, les angles du triangle GEB étant égaux à ceux du triangle isoscèle AEF, le premier sera aussi isoscèle, et l'on aura GE = GB. Donc la ligne donnée EA sera, comme il le fallait, la différence de la diagonale au côté du carré.