CHAPITRE III

RÉFLEXIONS SUR LA MARCHE ANALYTIQUE SUIVIE DANS LA RÉSOLUTION DES PROBLÈMES PRÉCÉDENTS.

349. Les problèmes que nous avons résolus ne supposent que la connaissance des premières propositions de la Géométrie; mais nous avons voulu nous occuper de ce genre de questions aussitôt que nous avons été en possession de moyens suffisants pour en résoudre un assez grand nombre, dans des conditions assez variées. Nous nous sommes borné à quelques-uns seulement, parce que nous ne voulons que montrer dans quel esprit un cours doit être conçu.

Dans un cours régulier, il faudrait beaucoup les multiplier; mais ce qui est le plus essentiel, c'est de faire chercher les problèmes par les élèves, et non de leur en donner immédiatement la solution. On ne s'assimile les méthodes qu'en les appliquant soi-même, et non en apprenant comment les autres les ont appliquées.

Dans les solutions que nous avons données, nous avons suivi la méthode analytique ; en les lisant, il semble qu'on assiste à la découverte progressive de l'inventeur, et même qu'il n'a eu successivement que les idées cju'on aurait eues soi-même, si l'on s'était proposé la question.

Cette méthode consiste, comme nous l'avons dit en général, à partir du problème proposé, et le ramener à un autre; puis à ramener celui-ci à un nouveau, jusqu'à ce que l'on parvienne à un problème que l'on sache résoudre. Mais chacun des problèmes que l'on substitue ainsi à celui qui le précède peut lui être lié de deux manières très-différentes. Les conditions qui lui sont imposées peuvent être des conséquences de celles du précédent, ou au contraire entraîner celles-ci comme conséquences. Souvent il y a ré-

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ciprocité entre les unes et les autres ; et alors les deux problèmes, quoique difîerents l'un de l'autre, conduisent exactement aux mêmes solutions. Quand cette réciprocité n'a pas lieu, nous avons fait voir, dans l'exposition générale, qu'il pouvait y avoir dans le premier cas des solutions étrangères, et dans le second des solutions perdues.

Il y a donc deux marches analytiques pour la solution des problèmes : l'une procède par déduction, l'autre par réduction ; mais, dans l'un et l'autre cas, il peut se faire qu'il y ait réciprocité entre les conditions de deux problèmes successifs, et il est essentiel de s'en assurer. Si elle a lieu, les solutions sont identiques ; sinon, on sait quelle discussion il est nécessaire de faire.

La déduction est ordinairement plus commode que la réduction ; et si l'on ne veut pas faire de discussion à chaque transformation de la question, et qu'on arrive à un problème connu sans qu'aucun des intermédiaires ait été obtenu par réduction, il n'y a autre chose à faire qu'à reconnaître s'il y a des solutions étrangères, c'est-à-dire à s'assurer si toutes les solutions du dernier problème satisfont au premier. Mais si quelques-uns des problèmes ont été obtenus par réduction, et quelques autres par déduction, il peut y avoir des solutions perdues en même temps que des solutions étrangères ; le hasard peut même faire qu'il y ait compensation.

Dans la solution des problèmes précédents, nous sommes parti de la construction demandée, supposée faite, et nous en avons tiré des conséquences qui nous ont fourni de nouveaux problèmes ; mais nous avons eu soin de démontrer la réciprocité de chacun avec le précédent, et par conséquent la solution fournie par le dernier était identique avec la solution demandée du premier. Il faut toutefois excepter le dernier de nos problèmes, où nous avons remis à la fin la démonstration obligée de la réciprocité.