CHAPITRE m

350. Une fois la solution trouvée par l'analjse, on exécute la construction en partant de la dernière à laquelle on a été ramené ; c'est-à-dire qu'on procède par une marche inverse de celle qui a été suivie pour découvrir. Et cette même marche peut être suivie pour l'exposition théorique de la solution, qui se fait alors synthétiquement au lieu de se faire analytiquement.

Cette marche est presque toujours suivie par les auteurs de Traités élémentaires. Elle est plus difficile que celle qui a été suivie pour découvrir ; et dans tous les cas elle exige que l'on démontre qu'il n'y a pas d'autre solution que celle que l'on énonce. Dans le dernier des problèmes précédents nous avons été obligé de démontrer que la construction que nous indiquions satisfaisait; mais nous y avions été conduit analytiquement, et ce n'est que parce que la réciprocité n'avait pas été démontrée qu'il a fallu prouver que ce qui était reconnu nécessaire était aussi suffisant. La solution synthétique de ce problème, celle que certainement Legendre aurait adoptée, aurait été conçue en ces termes : « Faites de part et d'autre de EA deux angles égaux à la moitié d'un droit, prenez AF = A.E; tirez la droite FE jusqu'à sa rencontre avec AM en B : AB sera le côté du carré cherché. En effet. . .

Or ce n'est pas ainsi que nous avons procédé; et en partant de la figure telle qu'elle doit être, nous avons démontré qu'en joignant le sommet B du carré cherché au point E et prolongeant BE, on aurait