CHAPITRE III

ce lieu. Si maintenant on reprend la condition négligée et qu'on en supprime une autre, le lieu de tous les points qui satisferont à la nouvelle question devra encore renfermer le point cherché. Ce point devant être sur les deux lieux ne peut être qu'un de leurs points d'intersection ; et réciproquement, tout point commun aux deux lieux satisfera à toutes les conditions de la question. On aura donc ainsi la solution complète du problème, et sans solutions étrangères. Et il est évident que cette méthode est analytique, puisqu'elle ramène une question à d'autres questions.

352. Remarques. — Si les lieux n'avaient pas été construits complètement, on pourrait avoir des solutions perdues. Il en serait de même encore si l'on introduisait dans l'un ou l'autre des conditions en dehors de la question. Mais il est sûr qu'on n'introduit pas ainsi de solution étrangère, et que tout point commun aux deux lieux, satisfaisant à toutes les conditions du problème, en est nécessairement une solution.

353. Méthode des systèmes semblables . — Il est quelquefois plus facile de construire un système semblable à celui qu'on cherche que ce système lui-même ; on est moins assujetti, puisqu'on peut choisir comme il conviendra la longueur d'une ligne qui était primitivement imposée. Si l'on peut résoudre le nouveau problème, le proposé sera ramené au suivant : « Construire un système semblable à un système donné, connaissant la longueur d'une ligne homologue à l'une de celles du premier » . Or cette construction n'offre aucune difficulté.

354. Méthode de rens^ersement. — Dans tout problème graphique, on donne certaines choses construites, et l'on propose d'en construire d'autres liées d'une cer-

372 SCIENCE DE l'étendue.

taine manière à celles-ci. Or il arrive souvent que les choses à construire peuvent être exécutées isolément des premières, et que la seule difficulté consiste à leur donner la position qu'elles doivent avoir relativement à celles-ci. Dans tous les cas de ce genre, il y a deux marches à suivre. On peut partir des constructions données et opérer sur elles jusqu'à ce que l'on ait obtenu celles que l'on demandait, et alors le problème est résolu ; ou bien commencer par construire les choses qui doivent avoir les rapports demandés avec les données, et, d'après ces mêmes rapports, construire sur elles ces données : il en résultera un système identique avec celui que l'on cherchait, puisque les données et les résultats y seront liés de la manière demandée ; il ne restera donc plus qu'à en reporter les diverses parties au lieu où l'on avait voulu que la construction fût exécutée.

Il peut se faire que le système auxiliaire ne soit pas identique avec celui que l'on cherche, et lui soit seulement semblable ; c'est ce qui arrive quand les grandeurs absolues des résultats ne sont pas données et que l'on ne connaît que leurs rapports. Dans ce cas, au lieu de reporter sur le premier système des parties égales à celles du second, on les porte proportionnelles, et dans un rapport déterminé par deux quelconques des grandeurs homologues.