CHAPITRE III

Soient A, B, G les centres des cercles donnés {fig. 32) ; figurons-nous la construction demandée comme faite ; soient O le centre du cercle cherché ; M, N, P les points

Fig. 32.

de contact, qui seront respectivement sur les droites qui joignent le centre O aux trois autres. Les positions de ces trois centres et les grandeurs des rayons donnés peuvent donner lieu à bien des variétés que nous n'avons pas ici pour objet de discuter. Nous n'avons en vue que la méthode, et nous l'exposerons sur un quelconque des cas que la figure peut présenter, par exemple celui où les trois cercles donnés seraient entièrement extérieurs les uns aux autres.

Or, avec tant soit peu d'attention, on reconnaîtra que le centre cherché O est le même que celui d'un cercle qui passerait par l'un des trois centres donnés et serait tangent à deux cercles connus. Si, par exemple, on augmente le rayon du cercle O du rayon PC du plus petit des cercles donnés, et qu'on décrive du centre O un cercle avec ce nouveau rayon, il passera évidemment par G, et sera tangent aux deux cercles décrits de A et B comme centres avec des rayons égaux aux rayons des deux cercles donnés diminués du troisième rayon GP.

Le problème proposé est donc ramené au suivant :

Décrire un cercle qui passe par un point donné et soit tangent à deux cercles donnés.

Nous laisserons maintenant de côté le problème proposé pour ne plus nous occuper que de celui-ci, auquel il est ramené.

Soient A, B les centres des cercles donnés [fig- 33), G le point par lequel doit passer le cercle cherché, O son

Fig. 33.

centre inconnu, et M, N les points où il touche les cercles donnés.

Il faut chercher les conséquences les plus immédiates résultant de la supposition que toutes les conditions exigées sont remplies. On voit d'abord que les trois points O, M, B sont en ligne droite, ainsi que O, N, A.

Si maintenant on mène par M et N une droite indéfinie NM qui coupe en S la ligne des centres AB, et l'un des cercles en I, on obtiendra une suite de conséquences importantes, qui ramèneront le problème à un autre beaucoup plus simple.

En effet, le triangle MBI étant isoscèle, comme OMN, a ses angles respectivement égaux à ceux de ce dernier, puisque les angles en M sont égaux comme opposés par le sommet; les angles en I et N sont donc égaux, et, par suite, les lignes BI et OA sont parallèles : d'où il suit que le point S est le centre de similitude des deux cercles donnés,