CHAPITRE III

puisque la ligne NIS passe par les extrémités de deux ra^'ons parallèles BI, AN.

De là résulte, d'après une propriété, mentionnée précédemment, du centre de similitude de deux cercles, que le rectangle SN.SM est connu.

Or, si on joint les points connus S et C, et que X soit le point de rencontre de SC avec le cercle inconnu, le rectangle se. SX sera égal à SN.SM, et, par conséquent, connu ; donc SX sera connu, comme étant la quatrième proportionnelle à trois lignes connues ; donc enfin le point X est connu.

Maintenant que nous connaissons deux points du cercle cherché, qui doit être, en outre, tangent aux deux cercles A elB, nous pouvons choisir un de ces derniers et chercher le cercle, d'après la condition qu'il lui soit tangent et passe par les deux points connus; il y aura réciprocité, et nous ne nous arrêterons pas à la démontrer.

Le problème est donc ramené à cet autre, dont nous allons nous occuper en général :

Décrire un cercle qui passe par deux points donnés et soit tangent à un cercle donné.

Soient A, B les deux points donnés, et C le centre du

Fie. 34.

cercle donné {fig- 34). La solution serait bien facile pour ceux qui connaîtraient le théorème suivant :

376 SCIENCE DE l'étendue.

Si, par deux points fixes A, B, on fait passer tant de cercles que Ton voudra, qui coupent ou touchent un cercle donné, les cordes communes ou la tangente commune passeront toutes par un même point de la droite AB.

Il est clair alors que si, par les deux points A, B et un troisième quelconque, pris sur le cercle G, on fait passer un cercle, qu'on joigne les deux points où ces cercles se couperont, la rencontre de cette droite avec AB fera connaître un point de la tangente au cercle G, menée au point de contact de ce dernier avec un cercle passant par A et B, et qui serait le cercle cherché. Il suffirait donc de mener du point déterminé sur AB une tangente au cercle donné, et l'on aurait le point de contact du cercle cherché avec G. Le problème serait ainsi ramené à faire passer un cercle par trois points, ce que l'on sait faire.

On voit par cet exemple combien il est utile, pour la résolution des problèmes, d'avoir un recueil de théorèmes, choisis surtout par la condition d'être applicables à un grand nombre de questions diverses; car il faut prendre garde de tomber dans l'inconvénient de l'accumulation de moyens de solutions, dont on ne sentirait que rarement l'utilité.

Nous allons maintenant, dans l'exemple actuel, raisonner comme si l'on ne connaissait pas le théorème que nous venons d'énoncer.

Soient AMB le cercle cherché, M le point de contact, et MT la tangente commune aux deux cercles. Le carré de TM est égal au rectangle de TB et TA, et serait aussi égal au rectangle d'une sécante quelconque TP menée parT au cercle donné, et de sa partie extérieure TN. Les quatre points A, B, N, P sont donc sur un même cercle ; et, comme le point P est pris quelconque sur le cercle donné, on voit que si, par les points A et B, on fait passer un cercle quelconque qui coupe celui qui est donné, la