CHAPITRE III

corde commune PN passera par le point T, où la tangente en M rencontre AB. Nous venons ainsi de démontrer le théorème que nous avions énoncé d'abord, et nous croyons inutile d'en dire davantage sur ce problème.

3o6. Problème II. — Inscrire dans un triangle donné ABC un triangle semblable à un second triangle donné MNP, et ayant en un point donné D pris sur AB celui de ses sommets qui est homologue à M.

Soit DXY le triangle cherché {Jig- 35) ; son angle D sera égal à M et le rapport de ses côtés DX, DY sera le même

Fig. 35 et 36.

que celui de MN et MP; et réciproquement, il suffît de satisfaire à ces conditions.

Nous résoudrons d'abord ce problème par la méthode des lieux géométriques. Pour cela, nous laisserons de côté la condition que le sommet X soit sur la ligne AG, et nous serons ainsi conduit au problème suivant :

On joint un point donné D à un point quelconque Y d'une droite donnée BG {fig- 37); au point D on mène

Fig. 37.

une droite DX, qui fasse ai^ec DY un angle égal à un

378 SCIENCE DE l'étendue.

angle donné, et telle, que le rapport des longueurs DX, DY soit égal à celui de deux lignes données : trouver le lieu des points X ainsi déterminés.

Quand on aura résolu ce problème, il suffira de chercher la rencontre de ce lieu avec le côté AG du triangle proposé.

Pour résoudre ce problème, auquel le premier est ramené, on remarquera que pour construire un point quelconque X du lieu, on pourra commencer par prendre la longueur DX sur la direction même de DY, ce qui donnera un point X', puis faire tourner le point X' autour de D, de manière que le rayon DX' décrive l'angle donné M. Or, le lieu des points X' sera une droite parallèle à BG, et facile à déterminer. Le lieu des points X sera donc cette droite, que l'on aurait fait tourner autour de D de la quantité angulaire connue. Nou^ n'en dirons pas davantage sur cette solution.

357. Autre solutioJi du même problème. — Appliquons maintenant à ce problème la méthode de renversement; partons du triangle qui doit être inscrit, et cherchons à construire l'autre sur lui. Mais comme on ne connaît que Vespèce, et non les dimensions mêmes de ce triangle, on ne peut que chercher à construire un système semblable à celui qu'on cherche.

Soit donc construit un triangle quelconque M'N'F, semblable à MNP {fig. 38).

Pour obtenir un triangle qui lui soit circonscrit et soit semblable à ABG, il suffira de décrire sur M'N' et M' F des segments respectivement capables des angles AetB; de mener par M' une sécante A'B', puis de tirer les droites A'N', B'F. Mais il y a encore une condition à remplir pour que le système soit semblable à celui qu'on cherche : c'est que le point M' divise A'B' dans le même